Question

Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения

Answer 1

$y'= \frac{y}{x} - 1 \\ y'- \frac{y}{x} = - 1$

ЛДУ

Замена:

$y = uv \\ y = u'v + v'u$

$u'v + v'u - \frac{uv}{x} = - 1 \\ u'v + u'(v - \frac{v}{x} ) = - 1 \\ \\ 1)v' - \frac{v}{x} = 0 \\ \frac{dv}{dx} = \frac{v}{x} \\ \int\limits \frac{dv}{v} = \int\limits \frac{dx}{x} \\ ln(v) = ln(x) \\ v = x \\ \\ 2)u'v = - 1 \\ \frac{du}{dx} \times x = - 1 \\ u = - \int\limits \frac{dx}{x} \\ u = - ln(x) + ln(C) \\ u = ln( \frac{C}{x} ) \\ \\ y = uv = x ln( \frac{C}{x} )$

общее решение

Answer 2

Відповідь:

Покрокове пояснення:

у'=у/х -1

Введем замену u=y/x → y'=u+xu'

u+xu'=u-1

u'= -1/x

du= -1/x dx

∫du= -∫1/x dx

u= - ln|x|+C вспомним о замене

y/x = ln(1/|x|)+C

y= x( ln|1/x|+C)

Если за константу взять lnС, то будем иметь

у=х (lnС/|х|)