Question

Lim x->0 (cosx/sin²x - ctg²x)​

Answer 1

Пошаговое объяснение:

по первому замечательному пределу

sinx ≈ x

sin²x ≈ x²

и по тригонометрии

ctg²x = cos²x/sin²x

и вот имеем предел

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{-cos^2x}{x^2} +\frac{cosx}{x^2} = \lim_{x \to 0} (1-cosx)\frac{cosx}{x^2}$

и снова первый замечательный      $\displaystyle \lim_{x \to 0} cosx =1$, это применим к дроби

тогда

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1-cosx}{x^2} =\lim_{x \to 0}\frac{2sin^2(x/2)}{x^2}$

и снова первый замечательный sin²(x/2) ≈ x²/2

и пришли мы, наконец, к завершению

$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{2sin^2(x/2)}{x^2}=\lim_{x \to 0}\frac{x^2}{2*x^2} =\frac{1}{2}$

ответ

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \bigg (\frac{cosx}{sin^2x} -ctg^2x \bigg )=\frac{1}{2}$