Question

решить у2штриха-3уштрих=3е^3х

Answer 1

$y=C_{1}+C_{2}e^{3x}+xe^{3x}, \quad C_{1}, C_{2}-const;$

Пошаговое объяснение:

$y''-3y'=3e^{3x};$

Это неоднородное уравнение. Сначала решим соответствующее ему однородное уравнение:

$y''-3y'=0;$

Составим и решим характеристическое уравнение:

$\lambda ^{2}-3 \lambda =0;$

$\lambda \cdot (\lambda -3)=0;$

$\lambda=0 \quad \vee \quad \lambda -3=0;$

$\lambda=0 \quad \vee \quad \lambda =3;$

Имеем 2 различных действительных корня. Запишем общее решение однородного уравнения:

$y=C_{1}e^{\lambda_{1}x}+C_{2}e^{\lambda_{2}x}, \quad \lambda_{1}=0, \quad \lambda_{2}=3 \Rightarrow y=C_{1}e^{0 \cdot x}+C_{2}e^{3x}=C_{1}+C_{2}e^{3x};$

Вернёмся к неоднородному уравнению.

Показатель степени экспоненты содержит коэффициент, равный одному из корней характеристического уравнения, поэтому частное решение будем искать в виде

$y=3Cxe^{3x};$

Найдём первую и вторую производные:

$y'=(3Cxe^{3x})'=3C \cdot (xe^{3x})'=3C \cdot (x' \cdot e^{3x}+x \cdot (e^{3x})')=3C \cdot (e^{3x}+3xe^{3x});$

$y''=(y')'=(3C \cdot (e^{3x}+3xe^{3x}))'=(3C)' \cdot (e^{3x}+3xe^{3x})+3C \cdot (e^{3x}+3xe^{3x})'=$

$=3C \cdot ((e^{3x})'+3 \cdot (xe^{3x})')=3C \cdot (3e^{3x}+3 \cdot (e^{3x}+3xe^{3x}))=3C \cdot (6e^{3x}+9xe^{3x});$

Подставим полученные производные в исходное уравнение:

$3C \cdot (6e^{3x}+9xe^{3x})-3 \cdot 3C \cdot (e^{3x}+3xe^{3x})=3e^{3x};$

$e^{3x} \cdot (3C \cdot (6+9x))-e^{3x} \cdot (9C \cdot (1+3x))=3e^{3x};$

$3C \cdot (6+9x)-9C \cdot (1+3x)=3;$

$18C+27Cx-9C-27Cx=3;$

$9C=3;$

$C=\dfrac{1}{3};$

$y=3 \cdot \dfrac{1}{3} \cdot xe^{3x}=xe^{3x};$

Проверим, верно ли найдено частное решение неоднородного уравнения. Воспользуемся ранее найденными производными:

$y=xe^{3x}, \quad y'=e^{3x}+3xe^{3x}, \quad y''=6e^{3x}+9xe^{3x}:$

$6e^{3x}+9xe^{3x}-3 \cdot (e^{3x}+3xe^{3})=3e^{3x};$

$6e^{3x}+9xe^{3x}-3e^{3x}-9xe^{3x}=3e^{3x};$

$3e^{3x}=3e^{3x};$

Частное решение найдено верно.

Общим решением неоднородного дифференциального уравнения является сумма общего решения однородного ДУ и частного решения неоднородного ДУ:

$y=C_{1}+C_{2}e^{3x}+xe^{3x}, \quad C_{1}, C_{2}-const;$