Изобразите на координатных прямых решение равенства которые Равносильна системы неравенств (1022-1023) 1023. 1) ſx < 2,5,
x < -1,7;

Изобразите на координатных прямых решение равенства которые Равносильна системы неравенств (1022-102

👇

Увидеть ответ

Открыть все ответы

Ответ:

justnastasyaaa

26.09.2021

$2 \ln 8 - 4 + \pi.$

Пошаговое объяснение:

Для вычисления интеграла $\int_0^2 \ln (x^2 + 4)\ \text d x$ воспользуемся сначала методом интегрирования по частям:

$u = \ln (x^2 + 4);\ \text d v = \text d x;\\\text d u = \frac{2x}{x^2 + 4}.\ \ \ \ \ \,\,\: x = \int \text d x = x.$

$\int_0^2 \ln (x^2 + 4)\ \text d x = \left \left( x \ln (x^2 + 4) \right) \right | \limits_0^2 - \int_0^2 \frac{2x^2}{x^2+4}\ \text d x.$

Заметим, что x^2 + 4 = x^2 + 2^2 , и тогда в интеграле после интегрирования по частям напрашивается такая замена:

Если $\frac{\text d x}{x^2 + 2^2} = \text d \left( \frac 12 \text{arctg}\, \frac x2 \right)$ , то, положив $y = \frac 12 \text{arctg}\, \frac x2$ , найдём, что:

$y = \frac 12\, \text{arctg}\, \frac x 2;\\2y = \text{arctg} \frac x 2;\\\text{tg}\, 2y = \frac x 2;\\x = 2\,\text{tg}\, 2y.$

Применим это всё при вычислении получившегося интеграла.

Пределы интегрирования изменятся так:

$a = \frac 12\, \text{tg}\, \frac 0 2 = \frac 12\, \text{tg}\, 0 = 0 \cdot \frac 12 = 0.$

$b = \frac 12\, \text{tg} \frac 2 2 = \frac 12\, \text{tg} \, 1 = \frac 12 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{8}.$

Вычислим теперь сам интеграл:

$\int_0^\frac\pi 8 2 \left( 2\, \text{tg}\, 2y \right)^2 \text d y = 8 \int_0^\frac \pi 8 \, \text{tg}^2\, 2y\, \text d y.$

Введём замену: $t = 2y;\ \text d t = 2\, \text d y;\ \Rightarrow\ \text d y = \frac 12\, \text d t.$

Пределы интегрирования изменятся так:

$a = 2 \cdot 0 = 0;\\b = 2 \cdot \frac \pi 8 = \frac \pi 4.$

Продолжим вычисление интеграла:

$4 \int _0^\frac \pi 4\, \text{tg}^2 \, t\, \text d t = 4 \int_0^\frac\pi4 \frac{\sin^2t}{\cos^2t}\, \text d t = 4 \int_0^\frac\pi4 \frac{1 - \cos^2 t}{\cos^2 t} \text d t= 4 \left( \int_0^\frac\pi 4 \frac{\text d t}{\cos^2 t} - \int_0^\frac\pi4\text d t \right) =\\= 4 \left( \text{tg}\, t |_0^\frac\pi4 - t|_0^\frac\pi4 \right) = 4 \left( \text{tg}\, \frac\pi 4 - \text{tg}\, 0 - \frac\pi 4 + 0 \right) = 4 - \pi.$

Подставим найденное значение в выражение после интегрирования по частям и найдём итоговый результат:

$2\ln(2^2 + 4) - 0 \ln (0^2 + 4) - (4 - \pi) = 2 \ln 8 - 4 + \pi.$

Наконец, получаем, что $\int _0^2 \ln (x^2 + 4)\, \text d x = 2 \ln 8 - 4 + \pi.$

4,4(16 оценок)

Ответ:

валерия858

26.09.2021

а) $y = c \ln x.\ \ \ (c \in \mathbb R)$

б) $y = \frac 12 e^{5x} + ce^{5x} - \frac 73.\ \ \ (c \in \mathbb R)$

Пошаговое объяснение:

а) Начнём с классификации ДУ. Это ДУ первого порядка, первой степени, линейное, обыкновенное.

$x\ln x y' - y = 0.$

В таком случае подойдёт замена $y = tx,\ y' = t'x + t.$ Введём её:

$x \ln x (t'x + t) - tx = 0;\\x (\ln x (t'x + t) - t) = 0;\ \ (x \ne 0)\\\ln x (t'x + t) - t = 0;\\\ln x\ t'x = t - t\ln x = t (1 - \ln x);\\1 - \ln x = \frac{\ln x\ t'x}t;\\\frac{1 - \ln x}{x \ln x} = \frac{t'}t;\\\frac{1 - \ln x}{x \ln x}\ \text{d}x = \frac{\text d t}t;$

Удалось разделить переменные. Проинтегрируем обе части уравнения:

$\int \frac{1 - \ln x}{x \ln x}\ \text{d}x = \int \frac{\text{d}x}{x \ln x} - \int \frac{\ln x}{x \ln x}\ \text{d}x = \int \frac{\text{d}(\ln x)}{\ln x} - \int \frac{\text{d} x}{x} =\\= \ln | \ln x| - \ln |x| + c= \ln \left | \frac{c\ln x}{|x|} \right |;\ \ \ (c \in \mathbb{R})$

$\int \frac{\text d t}{t} = \ln |t| + c.\ \ \ (c \in \mathbb{R})$

Приравняем и упростим обе части уравнения:

$\ln |t| = \ln \left | \frac{c \ln x}{|x|} \right |;\\t = \frac{c \ln x}{|x|}.$

Обратная замена:

$\frac{y}{x} = \frac{c \ln x}{|x|};\\y = \frac{cx \ln x}{|x|}.$

Логарифм от существует только тогда, когда x 0. Модуль |x| для x 0 равен самому , поэтому:

$y = \frac{cx \ln x}{x} = c \ln x.$

б) Начнём с классификации ДУ. Это ДУ первого порядка, первой степени, линейное, обыкновенное.

$y' - 3y = e^{5x} + 7.$

Введём переменную $u = e^{-3x}$ и домножим на неё обе части уравнения:

$uy' - 3e^{-3x}y = e^{5x - 3x} + 7e^{-3x};\\uy' - 3e^{-3x}y = e^{2x}+7e^{-3x}.$

Отметим, что $u' = -3e^{-3x}.$ Зная это, упростим:

$uy' + u'y = e^{2x} + 7e^{-3x};\\(uy)'=e^{2x} + 7e^{-3x}.$

Удалось разделить переменные. Проинтегрируем обе части уравнения:

$\int (uy)'\ \text d y = uy + c \ \ \ (c \in \mathbb R)$

$\int e^{2x} + 7 e^{-3x}\ \text d x = \int e^{2x}\ \text d x + 7 \int e^{-3x}\ \text d x =\\= \frac 12 e^{2x} - \frac 73 e^{-3x} + c.\ \ \ (c \in \mathbb R)$

Обратим замену, приравняем выражения и упростим:

$e^{-3x} y = \frac 12 e^{2x} - \frac 73 e^{-3x} + c;\\y = \frac 12 e^{2x + 3x} - \frac 73 e^{-3x + 3x} + \frac{c}{e^{-3x}} =\\=\frac 12 e^{5x} + ce^{3x} - \frac 73.$