Шерсть — древнейший природный утеплитель — до сих пор остается во многом непревзойденным материалом с уникальным набором полезных для человека качеств Среди тех, кто убежден в божественном происхождении человека, бытует мнение, что homo sapiens изначально был задуман и воплощен создателем голым. Однако, по мнению ученых, далекие предки современного человека все же имели на своем теле волосяной покров. Начиная разговор о шерсти и ее значении, стоит вспомнить, что в первобытные времена она обильно росла на человеке, являлась его естественной одеждой и лишь много позже стала и первой искусственной. На длинном эволюционном пути наши предки почти растеряли собственный шерстяной покров, но взамен научились заимствовать его у животных. Еще ничего не зная о теплообмене, они добывали шкуры животных и кутались в них, чтобы согреться. В начале XIX века великий французский математик и физик Жан Батист Жозеф Фурье в своей работе «Аналитическая теория тепла» наконец объяснил, что такое теплопроводность, и благодарное человечество стало кутаться в теплую одежду, используя научный подход. С тех пор наука и технологии заметно продвинулись вперед, но шерсть, как была одним из основных утепляющих материалов, так им и осталась.
1) y '' + 2y ' = sin x Просто, потому что по шаблону. Характеристическое уравнение k^2 + 2k = 0; k1 = 0; k2 = -2 Решение однородного уравнения: y0 = C1*e^(0x) + C2*e^(-2x) = C1 + C2*e^(-2x) Решение неоднородного уравнения y* = A*sin x + B*cos x y* ' = A*cos x - B*sin x y* '' = -A*sin x - B*cos x Подставляем в наше уравнение -A*sin x - B*cos x + 2A*cos x - 2B*sin x = sin x (-A - 2B)*sin x + (2A - B)*cos x = 1*sin x + 0*cos x Система { -A - 2B = 1 { 2A - B = 0 Умножаем 2 уравнение на -2 { -A - 2B = 1 { -4A + 2B = 0 И складываем уравнения -5A = 1; A = -1/5 = -0,2 B = 2A = -0,4 Общее решение неоднородного уравнения y = y0 + y* = C1 + C2*e^(-2x) - 0,2sin x - 0,4cos x
2) y ' + y/(2x) = x^2 Чуть сложнее, но тоже нетрудно. Решение однородного уравнения y ' + y/(2x) = 0 dy/dx = -y/(2x) dy/y = -dx/(2x) ln y = -ln |2x| + ln C = ln |C/(2x)| y0 = C/(2x) Решение неоднородного уравнения y* = Ax^3 + Bx^2 + Dx y* ' = 3Ax^2 + 2Bx + D Подставляем в уравнение 3Ax^2 + 2Bx + D + 3Ax^2/2 + Bx/2 + D/2 = x^2 { 3A + 3A/2 = 1 { 2B + B/2 = 0 { D + D/2 = 0 A = 2/9; B = 0; D = 0 y* = 2x^2/9 y = y0 + y* = C/(2x) + 2x^2/9 Решаем задачу Коши. y(1) = C/2 + 2/9 = 1 C/2 = 7/9 C = 14/9 ответ: y = 7/(9x) + 2x^2/9
Відповідь:
Покрокове пояснення:
Введемо заміну
р=у', тоді у"=рр'
Маємо рівняння
2урр'+р^2+р^4=0
2ур'+р+р^3=0
2у dp/dy =-p(1+p^2)
-2dp/(p(1+p^2))=dy/y
(-2/p+2p/(1+p^2))dp=dy/y
-2ln|p|+ln|1+p^2|=ln|y|+lnC1
ln((1+p^2)/p^2)=ln yС1
1/p^2 +1=yС1
p^2=1/(уC1-1)
p=1/(C1y-1)^(1/2) так як при х=0 у=1, а у'=2,то
2=1/(С1-1)^(1/2)
С1-1=1/4 → С1=5/4
dy/dx=1/(5/4×y-1)^(1/2)
(5/4×y-1)^(1/2)dy=dx
(5у-4)^(1/2)dy=2dx
2/15×(5y-4)^(3/2)=2х+С2 так як при х=0 у=1
2/15=C2
2(5y-4)^(3/2)=30x+2
(5y-4)^(3/2)=15x+1
5y=(15x+1)^(2/3)+4