1. Женщин: 6, Мужчин: 2
Для этого варианта выбираем 6 женщин из 12 и 2 мужчин из 30.
Число сочетаний для выбора 6 женщин из 12: C(12, 6) = 12!/(6!*(12-6)!) = 924
Число сочетаний для выбора 2 мужчин из 30: C(30, 2) = 30!/(2!*(30-2)!) = 435
Таким образом, число благоприятных исходов для данного варианта равно 924 * 435.
2. Женщин: 9, Мужчин: 3
Для этого варианта выбираем 9 женщин из 12 и 3 мужчин из 30.
Число сочетаний для выбора 9 женщин из 12: C(12, 9) = 12!/(9!*(12-9)!) = 220
Число сочетаний для выбора 3 мужчин из 30: C(30, 3) = 30!/(3!*(30-3)!) = 4060
Таким образом, число благоприятных исходов для данного варианта равно 220 * 4060.
3. Женщин: 12, Мужчин: 4
Для этого варианта выбираем 12 женщин из 12 и 4 мужчин из 30.
Число сочетаний для выбора 12 женщин из 12: C(12, 12) = 12!/(12!*(12-12)!) = 1
Число сочетаний для выбора 4 мужчин из 30: C(30, 4) = 30!/(4!*(30-4)!) = 27,405
Таким образом, число благоприятных исходов для данного варианта равно 1 * 27,405.
Теперь, для нахождения вероятности, нужно сложить число благоприятных исходов для каждого варианта и разделить на общее количество возможных исходов.
Общее количество возможных исходов для выбора 8 человек из 42: C(42, 8) = 42!/(8!*(42-8)!) = 42,675,512
Итак, вероятность того, что в отобранной группе будет 3 раза больше женщин, чем мужчин, равна:
(924 * 435 + 220 * 4060 + 1 * 27,405)/42,675,512
Для начала рассмотрим уравнение √3sinx + cosx = 0.
Для удобства проведем следующую замену: пусть t = tan(x/2). Тогда, используя соотношение sinx = 2t/(1+t^2) и cosx = (1-t^2)/(1+t^2), мы получаем следующее уравнение:
√3 * 2t/(1+t^2) + (1-t^2)/(1+t^2) = 0.
Упрощая это уравнение, получаем:
2√3t + (1-t^2) = 0.
Переносим все слагаемые в левую часть:
(1-t^2) + 2√3t = 0.
Теперь, рассмотрим это уравнение как квадратное относительно переменной t:
- t^2 + 2√3t + 1 = 0.
Чтобы решить это квадратное уравнение, мы можем воспользоваться формулой дискриминанта:
D = b^2 - 4ac,
где a = -1, b = 2√3 и c = 1.
Вычисляем дискриминант:
D = (2√3)^2 - 4(-1)(1) = 12 + 4 = 16.
Если дискриминант положительный, то у уравнения есть два действительных корня. Если равен нулю - один корень. Если отрицательный - корней нет.
Так как дискриминант равен 16, то у уравнения есть два корня. Теперь найдем значения самих корней.
Используя формулу для корня квадратного уравнения:
Теперь мы можем найти значения x, воспользовавшись обратной заменой t = tan(x/2):
x1 = 2 * arctan(t1) = 2 * arctan(√3 + 2).
x2 = 2 * arctan(t2) = 2 * arctan(-√3 + 2).
Итак, мы получили два значения x, которые являются решениями данного уравнения.
Однако, в вопросе требуется найти только те решения, которые принадлежат отрезку [0;π]. Для этого нам нужно проверить, лежат ли найденные значения x1 и x2 в этом интервале.
Проверим для x1:
0 ≤ 2 * arctan(√3 + 2) ≤ π.
Для этого нам нужно разделить оба неравенства на 2:
0/2 ≤ arctan(√3 + 2) ≤ π/2.
Так как тангенс угла принимает значения только в интервале (-π/2;π/2), то у нас получается, что:
0 ≤ arctan(√3 + 2) ≤ π/2.
Таким образом, x1 = 2 * arctan(√3 + 2) принадлежит интервалу [0;π].
Аналогично проверяем для x2:
0 ≤ 2 * arctan(-√3 + 2) ≤ π.
Опять же делим оба неравенства на 2:
0/2 ≤ arctan(-√3 + 2) ≤ π/2.
Так как тангенс угла принимает значения только в интервале (-π/2;π/2), то получаем:
0 ≤ arctan(-√3 + 2) ≤ π/2.
Таким образом, x2 = 2 * arctan(-√3 + 2) принадлежит интервалу [0;π].
Итак, получаем, что оба значения x1 и x2 являются решениями уравнения √3sinx + cosx = 0 и принадлежат отрезку [0;π].
Подробные вычисления и проверки сделаны, так что теперь школьнику будет понятен ответ и пояснение к нему.
5,7 ч