Question

Написать уравнение касательной и нормали s: z=y*sqrt x-2y^2-x+14y m(1; 0; -1)

Answer 1

Перепишем уравнение z=y*√x-2y^2-x+14y в виде

F(x,y,z)=y*√x-2y^2-x+14y-z - это уравнение поверхности.

Запишем известные формулы для уравнений касательной плоскости и плоскости нормали к поверхности в заданной точке (формулы записаны в частных производных, d - знак частной производной):

  Уравнение касательной:

dF/dx*(x-x₀)+dF/dy*(y-y₀)+dF/dz*(z-z₀)=0             (1)

  Уравнение нормали:

(x-x₀)/(dF/dx)=(y-y₀)/(dF/dy)=(z-z₀)/(dF/dz)            (2)

x₀=1; y₀=0; z₀=-1 - координаты т. M(1;0;-1).

Т.е. все сводится к нахождению частных производных.

   1) dF/dx=d(y*√x)/dx - d(2y^2)/dx - dx/dx + d(14y)/dx - dz/dx

     dF/dx=y*d(√x)/dx - 0 - 1 + 0 - 0

     dF/dx=y*(1/(2*√x)) - 1

     dF/dx=y/(2*√x) - 1                    (3)                

     Найдем dF/dx в т. M(1;0;-1). Подставим x=1; y=0; z=-1 в (3):

    dF/dx=0/(2*√1)-1 = -1              (4)

2) dF/dy=d(y*√x)/dy - d(2y^2)/dy - dx/dy + d(14y)/dy - dz/dy

     dF/dy=(√x)*dy/dy - 2*d(y^2)/dy - 0 + 14*dy/dy - 0

     dF/dy=(√x)*1 - 2*2y + 14*1

      dF/dy=√x - 4y + 14

     Найдем dF/dy в т. M(1;0;-1):

      dF/dy=√1 - 4*0 + 14 = 15       (5)

3)  dF/dz=d(y*√x)/dz - d(2y^2)/dz - dx/dz + d(14y)/dz - dz/dz

      dF/dz=0 - 0 - 0 + 0 - 1= -1        (6) 

Теперь подставим (4), (5), (6) и x₀=1; y₀=0; z₀=-1 - координаты т. M(1;0;-1) в (1):

-1*(x-1)+15*(y-0)-1*(z-(-1))=0

-x+1+15y-z-1=0

-x+15y-z=0 - уравнение касательной.

Теперь подставим (4), (5), (6) и x₀=1; y₀=0; z₀=-1 - координаты т. M(1;0;-1) в (2):

(x-1)/(-1)=(y-0)/15=(z-(-1))/(-1)

(x-1)/(-1)=y/15=(z+1)/(-1) - уравнение нормали.

ответ: -x+15y-z=0 - уравнение касательной

             (x-1)/(-1)=y/15=(z+1)/(-1) - уравнение нормали