1.Дано координати вершин піраміди ABCD: А (4;1;4); B (-3;-1;-4); C (4;-5;1); D (-6;2;-6)
Знайти : а) Довжину ребра АВ;
AB = √((xB-xA)²+(yB-yA)²+(zB-zA)²) = -7 -2 -8 = √117 ≈ 10,81665.
б) Площу грані АВC
Находим вектор АС.
AC = √((xC-xA)²+(yC-yA)²+(zC-zA)²) = 0 -6 -3 = √45 ≈ 6,70820.
Векторное произведение АВ на АС равно:
i j k | i j
-7 -2 -8 | -7 -2
0 -6 -3 | 0 -6 = 6i + 0j + 42k - 21j - 48i - 0k =
= -42i - 21j + 42k = (-42; -21; 42).
Модуль равен √((-42)² + (-21)² + 42²) = √(1764+ 441 +1764) = √3969 = 63
Площадь равна (1/2)*63 = 31,5 кв.ед.
2. Дано координати вершин піраміди ABCD: А (4;1;4); B (-3;-1;-4); C (4;-5;1); D (-6;2;-6)
Знайти : а) Кут між ребрами AB i AD;
Вектор AD равен:
AD = √((xD-xA)²+(yD-yA)²+(zD-zA)²) = -10 1 -10 = √201 ≈ 14,1774.
Скалярное произведение AB на AD равно:
-7*(-10) + (-2)*1 + (-8)*(-10) = 70 - 2 + 80 = 148.
cos(AB_AD) = 148/( √117*√201) = 0,965096534 .
Угол равен 0,264984602 радиан или 15,18249931 градуса.
б) Об’єм піраміди.
Объём равен (1/6) смешанного произведения векторов AB, AC и AD.
(AB, AC) * AD = (-42; -21; 42)*(-10; 1; -10) = 420 - 21 - 420 = -21.
V = (1/6)*|-21| = 21/6 = 7/2 = 3,5 куб.ед.
Исследовать функцию и построить график
f(x)=x⁴+x²+1
Пошаговое объяснение:
f(x)=x⁴+x²+1 . Область определения х-любое.
1)Промежутки возрастания и убывания.
Найдем производную функции f'(x)=(x⁴+x²+1)'=4х³+2х=2х(2х²+1).
f'(x)=0 , выражение 2х²+1>0 при любом х.
Критическая точка х=0 .
Если производная функции y=f(x) положительна для любого x из интервала X, то функция возрастает на X,
2х(2х²+1)>0 или х>0
----------------------(0)++++++++ , х∈(0;+∞) .
Т.к. функция определена и непрерывна при любом х, то можно включит концы отрезка х∈ [0;+∞)
Если производная функции y=f(x) отрицательна для любого x из интервала X, то функция убывает на X.
Используя схему выше ⇒ х∈(-∞;0] .
2)Экстремумы.
Точка х₀-точка максимума , если производная меняет свой знак с +на -.
Точка х₀- точка минимума , если производная меняет свой знак с - на +.
у' - +
--------------------------(0)---------------
у убыв min возр
х=0 точка минимума , f(0)=0⁴+0²+1=1
Функция четная f(-x)=(-x)⁴+(-x)²+1=x⁴+x²+1=f(x), график симметричен относительно оси оу.
Доп. точки
х -1,5 -1 -0,5
у 8,31 3 1,31