Question

Обчислить площадь фигуры ограниченой линиями 1) у=12-х(в квадрате),у=х(в квадрате)-12 2)у=0,у=корень от х, х=12

Answer 1

1) найдем точки пересечения:

12-x^2=x^2-12

24=2x^2

x^2=12

x=±√12 - границы интеграла

найдем площадь положительной:

$\int\limits^{-\sqrt{12}}_{\sqrt{12}} {(-x^{2}+12})} \, dx=\int{(-x^{2}+12})} \, dx |^{-\sqrt{12}}_{\sqrt{12}}=$

$=(\int-x^{2} \, dx +\int12 \, dx) |^{-\sqrt{12}}_{\sqrt{12}}=(-\frac{x^{3}}{3}+12x)|^{-\sqrt{12}}_{\sqrt{12}}=$

$=(-\frac{(\sqrt{12})^{3}}{3}+12*\sqrt{12})-(-\frac{-(\sqrt{12})^{3}}{3}+12*(-\sqrt{12}))=$

$=(-\frac{12\sqrt{12}}{3}+12\sqrt{12})-(-\frac{-12\sqrt{12}}{3}-12\sqrt{12})=$

$=8\sqrt{12}-(-8\sqrt{12})=16\sqrt{12}$

т.к. отрицательная часть фигуры идентична (функции противаположны), то общая площадь равна $2*16\sqrt{12}=32\sqrt{12}$

ответ: 32√12

2) функция у=√х имеет левую границу равную 0 по х, правая равна 12(функция х=12)

$\int\limits^{12}_0 {\sqrt{x}} \, dx=\int{x^{\frac{1}{2}}} \, dx |^{12}_{0}}=\frac{x^\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}} |^{12}_{0}}=\frac{12^\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}}=\frac{12*2*\sqrt{12}}{3}=8\sqrt{12}$

ответ: 8√12