Дан треугольник ABC с вершинами A(11; -2; - 9), B(2; 6; -4), C(8; -6; -8). а) Найдите середины отрезка BC. б) Найдите координаты и модуль вектора BC. в) Найдите векторы AB + BC. г) Докажите перпендикулярность векторов AB и AC
Добрый день!
а) Для нахождения середины отрезка BC нужно найти среднее арифметическое координат вершин B и C.
Сначала найдем координаты середины отрезка BC по каждой оси:
x: (2 + 8) / 2 = 5
y: (6 + (-6)) / 2 = 0
z: (-4 + (-8)) / 2 = -6
Таким образом, середина отрезка BC имеет координаты (5; 0; -6).
б) Чтобы найти вектор BC, нужно вычесть координаты вершины B из координат вершины C:
x: 8 - 2 = 6
y: -6 - 6 = -12
z: -8 - (-4) = -4
Таким образом, вектор BC имеет координаты (6; -12; -4).
Теперь найдем модуль вектора BC. По определению модуля вектора, модуль вектора BC равен квадратному корню из суммы квадратов его координат:
|BC| = sqrt(6^2 + (-12)^2 + (-4)^2) = sqrt(36 + 144 + 16) = sqrt(196) = 14.
Таким образом, модуль вектора BC равен 14.
в) Чтобы найти вектор AB + BC, нужно сложить соответствующие координаты этих векторов:
x: 11 - 2 + 6 = 15
y: -2 - 6 + (-12) = -20
z: -9 - (-4) - 4 = -9 - (-8) = -1
Таким образом, вектор AB + BC имеет координаты (15; -20; -1).
г) Чтобы доказать перпендикулярность векторов AB и AC, нужно показать, что их скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение векторов AB и AC вычисляется по следующей формуле:
AB · AC = (x_A - x_B)(x_A - x_C) + (y_A - y_B)(y_A - y_C) + (z_A - z_B)(z_A - z_C)
Подставим координаты вершин в эту формулу:
AB · AC = (11 - 2)(11 - 8) + (-2 - 6)(-2 - (-6)) + (-9 - (-4))(-9 - (-8))
= 9 * 3 + (-8) * 4 + (-5) * (-1)
= 27 - 32 + 5
= 0
Таким образом, скалярное произведение векторов AB и AC равно нулю, что означает, что эти векторы перпендикулярны.
Вот и все ответы. Если у тебя возникнут еще вопросы, не стесняйся задавать!
