502. а) Квадратный трехчлен у = х + px + q принимает при х = 1 наименьшее значение, равное 4. Найдите (0).
б) Квадратный трехчлен у = -x + bx + c принимает при х = І най-
большее значение, равное 4. Найдите у(-1).
в) Найдите коэффициенты a, b, c квадратного трехчлена у = ах? +
+ bx + c, если он при х = 1 принимает наибольшее значение, рав-
ное 3 и у(0) = 0.
а) Для начала, нам дано, что квадратный трехчлен у = х + px + q принимает наименьшее значение при х = 1 и это значение равно 4. Для нахождения параметров трехчлена, мы можем воспользоваться знанием, что вершина параболы, заданной трехчленом, находится в точке с координатами x = -p/2 и y = -D/4a, где D - дискриминант трехчлена ах^2 + bx + c.
Таким образом, вершина параболы данного трехчлена находится при x = -p/2 и y = -D/4a.
Из условия задачи, когда x = 1, y = 4, следует, что у = 1 + p + q = 4.
Теперь мы можем составить систему уравнений:
1 + p + q = 4 --- (1)
p = -D/2 --- (2)
Нам нужно найти значение у при х = 0, то есть у(0). Подставим х = 0 в исходное уравнение:
у = 0 + 0 + q = q.
Таким образом, нам необходимо найти значение q, которое будет равно урицательному значению, которое мы найдем из уравнения (1), учитывая уравнение (2).
Из уравнения (1) выразим p: p = 4 - 1 - q
Подставим полученное значение p в уравнение (2):
4 - 1 - q = -D/2
3 - q = -D/2
-q = -D/2 - 3
q = D/2 + 3
Таким образом, мы получили выражение для q: q = D/2 + 3, где D - дискриминант нашего квадратного трехчлена.
б) В данном случае нам дано, что квадратный трехчлен у = -x + bx + c принимает наибольшее значение при х = 1 и это значение равно 4. Для определения параметров трехчлена мы можем использовать ту же самую формулу для вершины параболы.
Таким образом, вершина будет находиться в точке с координатами x = -b/2 и y = -D/4a.
Из условия задачи, когда x = 1, y = 4, следует, что у = -1 + b + c = 4.
Мы можем составить систему уравнений:
-1 + b + c = 4 --- (3)
b = -D/2 --- (4)
Нам нужно найти значение у при х = -1, то есть у(-1). Подставим х = -1 в исходное уравнение:
у = -(-1) + b + c = 1 + b + c.
Таким образом, нам необходимо найти значение 1 + b + c, которое будет равно 4.
Заметим, что мы можем использовать уравнения (3) и (4), чтобы выразить b и c через D, и затем подставить их в уравнение 1 + b + c = 4.
Из уравнения (3) выразим b: b = 4 + 1 - c
Подставим полученное значение b в уравнение (4):
4 + 1 - c = -D/2
5 - c = -D/2
-c = -D/2 - 5
c = D/2 + 5
Таким образом, мы получили выражение для c: c = D/2 + 5, где D - дискриминант нашего квадратного трехчлена.
Теперь, зная значение c, мы можем выразить b через D и подставить это в уравнение (3):
b = 4 + 1 - c
b = 4 + 1 - (D/2 + 5)
b = 10 - D/2
Таким образом, мы получили выражение для b: b = 10 - D/2, где D - дискриминант нашего квадратного трехчлена.
в) В данном случае нам нужно найти значения коэффициентов a, b, c квадратного трехчлена у = ах^2 + bx + c при выполнении условий, что он принимает наибольшее значение при х = 1, равное 3, и у(0) = 0.
Мы можем использовать ту же самую формулу для вершины параболы, чтобы найти значения коэффициентов.
Вершина будет находиться в точке с координатами x = -b/2a и y = -D/4a.
Из условия задачи, когда x = 1, y = 3, следует, что у = a + b + c = 3.
Мы можем составить систему уравнений:
a + b + c = 3 --- (5)
-b/2a = 1 --- (6)
Также нам дано условие, что у(0) = 0, поэтому мы можем подставить х = 0 в уравнение и получить:
у = a*0^2 + b*0 + c = 0 + 0 + c = c.
Из данного условия следует, что c = 0.
Теперь мы можем подставить значение c = 0 в уравнение (5) и получить:
a + b + 0 = 3
a + b = 3 --- (7)
Также мы можем использовать уравнение (6), чтобы выразить b через a:
-b/2a = 1
-b = 2a
b = -2a --- (8)
Теперь мы можем подставить значение b = -2a из уравнения (8) в уравнение (7):
a + (-2a) = 3
-a = 3
a = -3
Таким образом, мы получили значение a: a = -3.
Подставим полученное значение a в уравнение (8), чтобы найти b:
b = -2*(-3) = 6.
Таким образом, мы получили значения всех коэффициентов a, b, c для квадратного трехчлена у = ах^2 + bx + c: a = -3, b = 6, c = 0.