Справочник
Тригонометрия
Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik.
Как работает сервис
Наши социальные сети
Синус, косинус, тангенс и котангенс: определения в тригонометрии, примеры, формулы
Содержание:
Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения
Угол поворота
Числа
Тригонометрические функции углового и числового аргумента
Связь определений sin, cos, tg и ctg из геометрии и тригонометрии
Синус, косинус, тангенс и котангенс: основные формулы
Тригонометрия - раздел математической науки, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование в геометрии. Развитие тригонометрии началось еще во времена античной Греции. Во времена средневековья важный вклад в развитие этой науки внесли ученые Ближнего Востока и Индии.
Данная статья посвящена базовым понятиям и дефинициям тригонометрии. В ней рассмотрены определения основных тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Разъяснен и проиллюстрирован их смысл в контексте геометрии.
Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения
Изначально определения тригонометрических функций, аргументом которых является угол, выражались через соотношения сторон прямоугольного треугольника.
Определения тригонометрических функций
Синус угла (
sin
α
) - отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.
Косинус угла (
cos
α
) - отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенс угла (
t
g
α
) - отношение противолежащего катета к прилежащему.
Котангенс угла (
c
t
g
α
) - отношение прилежащего катета к противолежащему.
Данные определения даны для острого угла прямоугольного треугольника!
Приведем иллюстрацию.
Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения
В треугольнике ABC с прямым углом С синус угла А равен отношению катета BC к гипотенузе AB.
Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса позволяют вычислять значения этих функций по известным длинам сторон треугольника.
Важно помнить!
Область значений синуса и косинуса: от -1 до 1. Иными словами синус и косинус принимают значения от -1 до 1. Область значений тангенса и котангенса - вся числовая прямая, то есть эти функции могут принимать любые значения.
Угол поворота
Определения, данные выше, относятся к острым углам. В тригонометрии вводится понятие угла поворота, величина которого, в отличие от острого угла, не ограничена рамками от 0 до 90 градусов.Угол поворота в градусах или радианах выражается любым действительным числом от
−
∞
до
+
∞
.
В данном контексте можно дать определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла произвольной величины. Представим единичную окружность с центром в начале декартовой системы координат.
Угол поворота
Начальная точка
A
с координатами (
1
,
0
) поворачивается вокруг центра единичной окружности на некоторый угол
α
и переходит в точку
A
1
. Определение дается через координаты точки
A
1
(
x
,
y
).
Синус (sin) угла поворота
Синус угла поворота
α
- это ордината точки
A
1
(
x
,
y
).
sin
α
=
y
Косинус (cos) угла поворота
Косинус угла поворота
α
- это абсцисса точки
A
1
(
x
,
y
).
cos
α
=
х
Тангенс (tg) угла поворота
Тангенс угла поворота
α
- это отношение ординаты точки
A
1
(
x
,
y
) к ее абсциссе.
t
g
α
=
y
x
Котангенс (ctg) угла поворота
Котангенс угла поворота
α
- это отношение абсциссы точки
A
1
(
x
,
y
) к ее ординате.
c
t
g
α
=
x
y
Синус и косинус определены для любого угла поворота. Это логично, ведь абсциссу и ординату точки после поворота можно определить при любом угле. Иначе обстоит дело с тангенсом и котангенсом. Тангенс не определен, когда точка после поворота переходит в точку с нулевой абсциссой (
0
,
1
) и (
0
,
−
1
). В таких случаях выражение для тангенса
t
g
α
=
y
x
просто не имеет смысла, так как в нем присутствует деление на ноль. Аналогично ситуация с котангенсом. Отличием состоит в том, что котангенс не определен в тех случаях, когда в ноль обращается ордината точки.
Важно помнить!
Синус и косинус определены для любых углов
α
.
Тангенс определен для всех углов, кроме
α
=
90
°
+
180
°
⋅
k
,
k
∈
Z
(
α
=
π
2
+
π
⋅
k
,
k
∈
Z
)
Котангенс определен для всех углов, кроме
α
=
180
°
⋅
k
,
k
∈
Z
(
α
=
π
⋅
k
,
k
∈
Z
)
При решении практических примеров не говорят "синус угла поворота
α
". Слова "угол поворота" просто опускают, подразумевая, что из контекста и так понятно, о чем идет речь.
х - цена жевательной резинки; 1,70 = 170 центов
у - цена шоколадной конфеты; 1,30 = 130 центов
Составим систему уравнений по условию задачи и решим её методом алгебраического сложения:
{5х + 8у = 170
{7х + 4у = 130
- - - - - - - - - - -
12х + 12у = 300
Разделим обе части на 12
х + у = 25 ⇒ х = (25 - у)
Подставим значение х в любое уравнение системы
5 · (25 - у) + 8у = 170 или 7 · (25 - у) + 4у = 130
125 - 5у + 8у = 170 175 - 7у + 4у = 130
3у = 170 - 125 -3у = 130 - 175
3у = 45 -3у = -45
у = 45 : 3 у = -45 : (-3)
у = 15 у = 15
Подставим значение у в любое уравнение системы
5х + 8 · 15 = 170 или 7х + 4 · 15 = 130
5х + 120 = 170 7х + 60 = 130
5х = 170 - 120 7х = 130 - 60
5х = 50 7х = 70
х = 50 : 5 х = 70 : 7
х = 10 х = 10
ответ: 15 центов - цена жевательной резинки и 10 центов - цена шоколадной конфеты.
437
Пошаговое объяснение:
МА+ТЕ+МА+ТИ+КА
Посмотрим на буквы.
Буква М самая первая и стоит на месте десятков, значит она означает десятки.
Буква А означает единицы.
Буква Т означает десятки.
Буква Е - единицы.
Буква И - это единицы.
Буква К - десятки.
Запишем это таким образом:
М = 10 + 10
А = 1 + 1 + 1
Т = 10 + 10
Е = 1
И = 1
К = 10
Нам нужно найти максимальное значение выражения.
Значит в десятках, и единицах должны быть самые большие цифры.
Заменим буквы цифрами.
М = 9 + 9
Т = 8 + 8
К = 7
А = 6 + 6 + 6
Е = 5
И = 4
Теперь подставим вместо букв цифры:
МА+ТЕ+МА+ТИ+КА
96 + 85 + 96 + 84 + 76 = 437
ответ: 437