Question

Вычислить площадь фигуры,ограниченной линиями: у=4-х^2 и у=2х+1

Answer 1

Площадь данной фигуры находится по формуле 

$\int\limits^b_a {(f(x) - g(x))} \, dx$

В данном случае

f(x) = 4 - x^2

g(x) = 2x + 1

Прямая и парабола пересекаются в точках -3 и 1. Будем искать площадь фигуры на промежутке [-3;1]. Теперь можно упросить выражение f(x) - g(x)

(4 - x^2) - (2x + 1) = 4 - x^2 - 2x - 1 = 3 - x^2 - 2x

Найдём первообразную, чтоб не переписыать потом

F(x) = F(3 - x^2 - 2x) = 3x - $3 - x^2 - 2x 3x - \frac{x^3}{3} - \frac{2x^2}{2} = 3x - \frac{x^3}{3} - x^2$

Теперь подставляем.

S = $\int\limits^1_{-3} {((4 - x^2) - (2x + 1))} \, dx = \int\limits^1_{-3} {(3 - x^2 - 2x}) \, dx = (3 * 1 - \frac{1^3}{3} - 1^2) - ( 3 * (-3) - \frac{(-3)^3}{3} - (-3)^2) = 3 - \frac{1}{3} - 1 + 9 - 9 + 9 = 2 - \frac{1}{3} + 9 = 10\frac{2}{3}$ ед^2