Question

Вурне 6 белых,5 красных и 7 черных шаров .из урны одновременно извлекли 5 шаров .найдите вероятности событий: а1-все шары белые а2-среди извлеченных только один черный а3-извлеченно 2 белых,3 черных и 0 красных а4-среди извлеченных ровно 2 белых шара а5-седи извлеченных хотя бы один черный а6-все шары одного цвета а7-все шары не белые а8-среди извлеченных нет двух шаров одного цвета

Answer 1

$\\|\Omega|={18 \choose 5}=8568\\ P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}$

$\\A_1\\ |A|=1\\ P(A)=\frac{1}{8568}$

$\\A_2\\ |A|=7\cdot {11 \choose 4}=7\cdot330=2310\\ P(A)=\frac{2310}{8568}=\frac{55}{204}$

$\\A_3\\ |A|={6 \choose 2}\cdot {7\choose 3}=15\cdot35=525\\ P(A)=\frac{525}{8568}=\frac{25}{408}$

$\\A_4\\ |A|={6\choose 2}\cdot{12 \choose 3}=15\cdot220=3300\\ P(A)=\frac{3300}{8568}=\frac{275}{714}$

$\\A_5\\ |A'|={11 \choose 5}=462\\ P(A)=1-P(A')=1-\frac{462}{8568}=1-\frac{11}{204}=\frac{193}{204}$

$\\A_6\\ |A|={6 \choose 5}+1+ {7\choose 5}=6+1+21=28\\ P(A)=\frac{28}{8568}=\frac{1}{306}$

$\\A_7\\ |A|={12 \choose 5}\\ P(A)=\frac{792}{8568}=\frac{11}{119}$

$\\A_8\\ |A|=0\\ P(A)=\frac{0}{8568}=0$

Answer 2

Давайте разберемся с каждым событием по очереди.

а1-все шары белые:
Всего шаров в урне: 6 белых, 5 красных и 7 черных. Нам нужно извлечь 5 белых шаров.
Сначала посчитаем общее количество возможных вариантов извлечения 5 шаров из урны:
Всего шаров: 6 белых + 5 красных + 7 черных = 18 шаров.
Общее количество возможных вариантов извлечения 5 шаров из 18 шаров можно вычислить с помощью сочетаний: C(18, 5) = 856 (C - обозначение сочетания).

Теперь посчитаем количество благоприятных вариантов, то есть вариантов, где все 5 шаров белые.
Количество возможных вариантов извлечения 5 белых шаров можно вычислить с помощью сочетаний: C(6, 5) = 6.

Теперь найдем вероятность события а1:
P(а1) = (количество благоприятных вариантов)/(общее количество возможных вариантов)
P(а1) = 6/856 ≈ 0.007

Ответ: вероятность того, что все 5 шаров будут белыми, составляет около 0.007.

а2-среди извлеченных только один черный:
Нам нужно найти вероятность того, что ровно один шар из 5 будет черным.
Так как у нас есть 7 черных шаров, а нужно найти вероятность того, что ровно 1 шар будет черным, мы можем рассмотреть все возможные случаи:
1 черный и 4 белых;
4 белых и 1 черный;
1 черный, 3 белых и 1 красный;
1 черный, 2 белых и 2 красных;
1 черный, 1 белый и 3 красных;
1 черный, 3 красных и 1 белый;
1 черный, 2 красных и 2 белых;
1 черный, 1 красный и 3 белых;
Теперь найдем вероятность каждого из этих случаев:
1. P(1 черный и 4 белых) = (C(7, 1) * C(6, 4))/(C(18, 5)) ≈ 0.060
2. P(4 белых и 1 черный) = (C(7, 4) * C(6, 1))/(C(18, 5)) ≈ 0.113
3. P(1 черный, 3 белых и 1 красный) = (C(7, 1) * C(6, 3) * C(5, 1))/(C(18, 5)) ≈ 0.201
4. P(1 черный, 2 белых и 2 красных) = (C(7, 1) * C(6, 2) * C(5, 2))/(C(18, 5)) ≈ 0.221
5. P(1 черный, 1 белый и 3 красных) = (C(7, 1) * C(6, 1) * C(5, 3))/(C(18, 5)) ≈ 0.301
6. P(1 черный, 3 красных и 1 белый) = (C(7, 1) * C(5, 3) * C(6, 1))/(C(18, 5)) ≈ 0.201
7. P(1 черный, 2 красных и 2 белых) = (C(7, 1) * C(5, 2) * C(6, 2))/(C(18, 5)) ≈ 0.221
8. P(1 черный, 1 красный и 3 белых) = (C(7, 1) * C(5, 1) * C(6, 3))/(C(18, 5)) ≈ 0.301

Теперь сложим вероятности всех этих случаев, чтобы найти общую вероятность события а2:
P(а2) = P(1 черный и 4 белых) + P(4 белых и 1 черный) + P(1 черный, 3 белых и 1 красный) + P(1 черный, 2 белых и 2 красных) + P(1 черный, 1 белый и 3 красных) + P(1 черный, 3 красных и 1 белый) + P(1 черный, 2 красных и 2 белых) + P(1 черный, 1 красный и 3 белых)
P(а2) ≈ 0.042

Ответ: вероятность того, что среди извлеченных будет только один черный шар, составляет около 0.042.

а3-извлеченно 2 белых, 3 черных и 0 красных:
Теперь посчитаем количество благоприятных вариантов, то есть комбинаций, где извлечено 2 белых, 3 черных и 0 красных шара.
Количество возможных вариантов извлечения 2 белых и 3 черных шаров можно вычислить с помощью сочетаний: C(6, 2) * C(7, 3) = 15 * 35 = 525.

Теперь найдем вероятность события а3:
P(а3) = (количество благоприятных вариантов)/(общее количество возможных вариантов)
P(а3) = 525/856 ≈ 0.613

Ответ: вероятность того, что будет извлечено 2 белых, 3 черных и 0 красных шара, составляет около 0.613.

а4-среди извлеченных ровно 2 белых шара:
Теперь посчитаем количество благоприятных вариантов, то есть комбинаций, где извлечено ровно 2 белых шара.
Количество возможных вариантов извлечения 2 белых шаров можно вычислить с помощью сочетаний: C(6, 2) = 15.

Теперь найдем вероятность события а4:
P(а4) = (количество благоприятных вариантов)/(общее количество возможных вариантов)
P(а4) = 15/856 ≈ 0.018

Ответ: вероятность того, что среди извлеченных будет ровно 2 белых шара, составляет около 0.018.

а5-среди извлеченных хотя бы один черный:
В данном случае мы должны посчитать вероятность того, что хотя бы один из извлеченных шаров будет черным.
Это означает, что мы можем рассмотреть все случаи, когда:
1. Как минимум 1 шар черный;
2. Все 5 шаров черные.

Посчитаем вероятность каждого из этих случаев и сложим их, чтобы получить общую вероятность события а5.
1. Вероятность того, что как минимум 1 шар будет черным, можно вычислить как 1 - вероятность того, что все шары будут белыми:
P(как минимум 1 черный) = 1 - P(все белые) = 1 - 6/856 = 1 - 0.007 = 0.993
2. Вероятность того, что все 5 шаров будут черными:
P(все черные) = (C(7, 5))/(C(18, 5)) ≈ 0.004

Теперь сложим вероятности каждого из этих случаев:
P(а5) = P(как минимум 1 черный) + P(все черные) ≈ 0.993 + 0.004 ≈ 0.997

Ответ: вероятность того, что среди извлеченных будет по крайней мере один черный шар, составляет около 0.997.

а6-все шары одного цвета:
Вероятность того, что все шары будут одного цвета, может быть либо вероятностью того, что все шары будут белыми, либо вероятностью того, что все шары будут красными, либо вероятностью того, что все шары будут черными.

Мы уже вычислили вероятность события а1 (все шары белые). Вероятности того, что все шары будут красными или черными будут такими же, как и вероятность события а1, так как количество красных и черных шаров одинаковое.

P(а6) = P(все шары белые) + P(все шары черные) + P(все шары красные)
P(а6) = 0.007 + 0.007 + 0.007 = 0.021

Ответ: вероятность того, что все шары будут одного цвета, составляет 0.021.

а7-все шары не белые:
Мы уже вычислили вероятность события а1 (все шары белые). Так как нам нужно найти вероятность того, что не будет ни одного белого шара, мы можем просто вычесть P(а1) из 1.

P(а7) = 1 - P(все шары белые) = 1 - 0.007 = 0.993

Ответ: вероятность того, что все шары не белые, составляет 0.993.

а8-среди извлеченных нет двух шаров одного цвета:
Нам нужно найти вероятность того, что среди извлеченных не будет двух шаров одного цвета. Это означает, что мы можем рассмотреть все случаи, когда:
1. Ровно 1 шар каждого цвета;
2. Ровно 3 шара разных цветов из 3 доступных.

Вероятность каждого из этих случаев можно вычислить с применением сочетаний:
1. P(ровно 1 шар каждого цвета) = (C(6, 1) * C(5, 1) * C(7, 1))/(C(18, 5)) ≈ 0.173
2. P(ровно 3 шара разных цветов из 3 доступных) = (C(6, 3) * C(5, 1))/(C(10, 5)) ≈ 0.107

Теперь сложим вероятности каждого из этих случаев:
P(а8) = P(ровно 1 шар каждого цвета) + P(ровно 3 шара разных цветов из 3 доступных) ≈ 0.173 + 0.107 ≈ 0.28

Ответ: вероятность того, что среди извлеченных не будет двух шаров одного цвета, составляет около 0.28.