Question

Треугольник авс вписан в окружность.известно,что величина угла а равна 75 градусов, угла в равна 45 градусов.хорда ак составляет угол 15 градусов с хордой ас.найдите отношение площади треугольника авс к площади треугольника авк.

Answer 1

Рассмотрим случай, когда хорда АК лежит вне ∆АВС. Чертеж во вложении.

1) По теореме о сумме углов треугольника в ∆АВС ∠С=180°-45°-75°=60°.

2)∠ВКА=∠ВСА = 60° (опираются на одну и ту же дугу АВ). Поэтому в ∆АВК и  ∆АВС ∠ВКА=∠ВСА, следовательно, площади тих треугольников пропорциональны произведениям сторон, образующих равные углы этих треугольников, т.е.

$\frac{S_{ABC}}{S_{ABK}}=\frac{BC*AC}{BK*AK}$

3) В ∆АВК ∠ВАК = 75°+15°=90°. Следовательно, ∆АВК - прямоугольный, а гипотенуза ВК является диаметром окружности.

В  ∆АВК ∠АВК = 90°-60°=30°, значит, гипотенуза ВК=2АК.

4) В ∆АВС по теореме синусов

$\frac{AC}{sin 45^0}=2R \\\ AC=BK*\frac{\sqrt2}{2}=AK\sqrt2$

5) ∆ВCК-прямоугольный, ∠ВСК = 90° (опирается на полуокружность, либо по свойству противоположных углов вписанного четырехугольника).

∠КВС=∠АКС = 15° (опираются на одну и ту же дугу КС).

Поэтому ВС=BK*cos15°

$cos15^0=cos(45^0-30^0)=cos45^0cos30^0+sin45^0sin30^0= \\\ =\frac{\sqrt2}{2}*\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt2}{2}*\frac{1}{2}=\frac{\sqrt6}{4}+\frac{\sqrt2}{4}=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4} \\\ BC=BK\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}=AK\frac{\sqrt6+\sqrt2}{2}$

6) Итак,

$\frac{S_{ABC}}{S_{ABK}}=\frac{BC*AC}{BK*AK}=(AK\frac{\sqrt6+\sqrt2}{2}*AK\sqrt2):(2AK*AK)= \\\ =\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}*\sqrt2= \frac{\sqrt{12}+2}{4}=\frac{\sqrt3+1}{2}$

ответ: $S_{ABC}:S_{ABK}=(\sqrt3+1):2$