Question

Зоднієї точки до кола проведено дві дотичні. довжина кожної дотичної 12 см, а відстань між точками дотику 14,4 см. визначити радіус кола. !

Answer 1

Чертеж во вложении.

Пусть МА и МВ - две касательные. О-центр окружности, ОА - радиус.

По свойству касательных ОА⊥МА, ОВ⊥МВ.

В силу равенства прямоугольных треугольников МОА и МОВ по гипотенузе и катету, углы АМО и ВМО также будут равны. Значит, MO- биссектриса угла АМВ и угла АОВ.

Пусть Н - точка пересечения биссектрисы МО и хорды АВ. Т.к. МА=МВ, то треугольник АМВ - равнобедренный, тогда МН-высота и медиана. Значит, АН=ВН=7,2 см.

В треугольнике АНМ по теореме Пифагора

$MH=\sqrt{AM^2-AH^2}=\sqrt{12^2-7.2^2}=9.6$

Т.к. АН-высота прямоугольного ∆ОАМ, то АН²=OH·НМ

7,2²=ОН·9,6

ОН=51,84/9,6=5,4

В треугольнике АНО по теореме Пифагора

$ОА=\sqrt{OH^2+AH^2}=\sqrt{5.4^2+7.2^2}=9$

ответ: 9.