6.12(б)
log₈₁x+log₉(x)+log₃x=7
ОДЗ х>0,
по правилу перехода к новому основанию перейдем к основанию 3
log₃x/log₃81+log₃x/log₃9+log₃x=7; приведем к общему знаменателю и воспользуемся определением логарифма.
log₃x/4+log₃x/2+log₃x=7
7*log₃x=28
log₃x=4; х=81∈ОДЗ.
x=81
6.13(б)
log₃x+2*log₉x*log₂₇x+4*log₈₁x=8
ОДЗ х∈(0;+∞), на этом множестве можно упростить уравнение.
log³x+2*0.5*log₃x+3*(1/3)*log₃x+4*(1/4)*log₃x=8
log₃x=8/4
log₃x=2
x=3²
x=9∈ОДЗ
х=9
6.15(а)
log²₂x+(5/2)(log₂x/log₂3)* log₂x+ (log²₂х)/log²₂3 =0
log²₂x*(1+(5/(2log₂3) +1/log²₂3 )=0
(1+(5/(2log₂3) +1/log²₂3 )≠0
log²₂x=0
log₂x=0
х=2⁰
x=1∈ОДЗ
х=1
9) Из заданного соотношения х/у = 5/2 находим у = 2х/5.
Полупериметр прямоугольника равен 72/2 = 36.
С другой стороны он равен х + (х + у) = 2х + у = 2х + (2х/5).
Приравняем: 2х + (2х/5) = 36.
Приведём к общему знаменателю.
10х + 2х = 180 или 12х = 180, отсюда х = 180/12 = 15.
По свойству биссектрисы прямого угла имеем а = х.
ответ: а = 15.
10) Используем свойство высоты из прямого угла: АЕ/ВЕ = ВЕ/ЕС.
Так как ЕС = 3АЕ, то АЕ/ВЕ = ВЕ/3АЕ.
Отсюда ВЕ² = 3АЕ².
По Пифагору находим:
АВ = √(АЕ² + ВЕ²) = √(АЕ² + 3АЕ²) = √(4АЕ²) = 2АЕ.
АЕ = 10/4 = 2,5, тогда АВ = 2*2,5 = 5.
ответ: АВ = 5.