Для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x)=9x+3x^2-x^3 на отрезке [-2;2], мы должны рассмотреть все критические точки и концы интервала, а затем определить, где функция достигает своего максимального и минимального значения.
Шаг 1: Находим производную функции f(x)
Для этого возьмем производную функции f(x) по переменной x:
f'(x)= 9 + 6x - 3x^2
Шаг 2: Находим критические точки
Критические точки это значения x, при которых производная функции равна нулю или не существует.
Для того чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:
9 + 6x - 3x^2 = 0
Переносим все члены в левую часть уравнения:
3x^2 - 6x - 9 = 0
Шаг 3: Решаем квадратное уравнение
Для решения этого квадратного уравнения используем формулу дискриминанта:
D = b^2 - 4ac
где a = 3, b = -6 и c = -9. Подставим значения:
D = (-6)^2 - 4*3*(-9) = 36 + 108 = 144
Так как у нас положительное значение дискриминанта, уравнение имеет два действительных корня.
Шаг 4: Находим значения x для критических точек
Используя формулу:
Шаг 1: Находим производную функции f(x)
Для этого возьмем производную функции f(x) по переменной x:
f'(x)= 9 + 6x - 3x^2
Шаг 2: Находим критические точки
Критические точки это значения x, при которых производная функции равна нулю или не существует.
Для того чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:
9 + 6x - 3x^2 = 0
Переносим все члены в левую часть уравнения:
3x^2 - 6x - 9 = 0
Шаг 3: Решаем квадратное уравнение
Для решения этого квадратного уравнения используем формулу дискриминанта:
D = b^2 - 4ac
где a = 3, b = -6 и c = -9. Подставим значения:
D = (-6)^2 - 4*3*(-9) = 36 + 108 = 144
Так как у нас положительное значение дискриминанта, уравнение имеет два действительных корня.
Шаг 4: Находим значения x для критических точек
Используя формулу:
x = (-b ± √D) / (2a)
Подставим значения a, b и D:
x1 = (-(-6) + √144) / (2*3) = (6 + 12) / 6 = 18 / 6 = 3
x2 = (-(-6) - √144) / (2*3) = (6 - 12) / 6 = -6 / 6 = -1
Таким образом, у нас есть две критические точки x1 = 3 и x2 = -1.
Шаг 5: Проверяем значения функции на концах интервала
Осталось проверить значения функции на концах интервала [-2;2].
Для x = -2:
f(-2) = 9*(-2) + 3*(-2)^2 - (-2)^3 = -18 + 12 + (-8) = -14
Для x = 2:
f(2) = 9*2 + 3*2^2 - 2^3 = 18 + 12 - 8 = 22
Шаг 6: Определяем наибольшее и наименьшее значение функции
Теперь у нас есть все значения функции на концах интервала и в критических точках.
Максимальное значение функции:
Наибольшее значение функции достигается при x = 2 и равно 22.
Минимальное значение функции:
Наименьшее значение функции достигается при x = 3 и равно -14.
Итак, наибольшее значение функции f(x)=9x+3x^2-x^3 на отрезке [-2;2] равно 22, а наименьшее значение равно -14.