Question

Вычислить сумму дробей : а)1/1*2 + 1/2*3 + + 1/19*20 б)1/10*11 + 1/11*12 + +1/19*20 в) 1/1*4 + 1/4*7 + + 1/13*16 г)1/3*7 + 1/7*11 + + 1/19*23

Answer 1

A)
Каждая дробь представляет функцию вида:
$f(x)=\cfrac{1}{x(x+1)}$
Получаем что нам надо вычислить сумму:
$\sum_1^{19}\cfrac{1}{x^2+x}$
Используем интеграл:
$\int_1^{19}\cfrac{1}{x^2+x}dx=lnx-ln(x+1)=ln(19)-ln(20)-ln1+ln2=ln\cfrac{19}{10}$
В случае примера б, получаем:
$ln19-ln20-ln10+ln11=ln\cfrac{19\cdot 11}{20\cdot 10}=ln\cfrac{209}{200}$