Номинальный диаметр каждого из испытуемых шариков 10 мм. Шарики, которые не проходят через круглое отверстие диаметром 10,1 мм и проходят через отверстие диаметром 9,9 мм, считаются бракованными. Шарики изготовлены из стали плотностью 7,8 г/см3. Найти математическое ожидание и дисперсию массы G небракованного шарика, считая распределение диаметра шарика в поле допуска равномерным. ответ: 3,8 г; 1,3 г2.
Математическое ожидание (M) - это среднее значение случайной величины. Для нашего случая, мы хотим найти математическое ожидание массы (G) небракованного шарика.
Дисперсия (D) - это мера разброса значений случайной величины относительно её математического ожидания. Она выражается в квадратных единицах измерения и показывает, насколько сильно значения отклоняются от среднего.
Перейдем к решению задачи.
Для начала, нам необходимо найти вероятность того, что шарик не будет считаться бракованным. Чтобы шарик был небракованным, его диаметр должен находиться в пределах от 9,9 мм до 10,1 мм. Так как распределение диаметра шарика в поле допуска считается равномерным, мы можем использовать формулу для нахождения вероятности равномерного распределения.
По формуле вероятности равномерного распределения, вероятность P(X) для случайной величины X находится следующим образом:
P(X) = (b - a)/(c - a),
где a и b - минимальное и максимальное значения в диапазоне, в котором находится случайная величина, а c - значение, для которого мы находим вероятность.
В нашем случае, a = 9,9 мм, b = 10,1 мм и c = 10 мм. Подставим значения:
P(X) = (10,1 - 9,9)/(10,1 - 9,9) = 0,2/0,2 = 1.
Таким образом, вероятность P(X) того, что шарик будет небракованным, равна 1.
Теперь мы можем перейти к нахождению математического ожидания массы (G) небракованного шарика.
Математическое ожидание можно найти, умножив каждое возможное значение случайной величины на соответствующую вероятность и сложив все полученные произведения.
M(G) = (m1*P1) + (m2*P2) + ... + (mn*Pn),
где mi - значение случайной величины (в данном случае масса небракованного шарика), Pi - соответствующая вероятность (вероятность быть небракованным).
Мы знаем, что масса небракованного шарика составляет m1 = 0 г (работаем с разницей в массе, а не с абсолютным значением массы), а вероятность Pi = 1 (так как шарик, который не проходит через отверстие 10,1 мм и проходит через отверстие 9,9 мм, будет небракованным, то есть вероятность равна 1).
То есть, M(G) = (0*1) = 0 г.
Итак, математическое ожидание массы небракованного шарика равно 0 г.
Теперь давайте найдем дисперсию массы (G) небракованного шарика.
Дисперсия определяется следующим образом:
D = [(m1-M(G))^2 * P1] + [(m2-M(G))^2 * P2] + ... + [(mn-M(G))^2 * Pn].
Для нашего случая, у нас есть только одно возможное значение массы небракованного шарика m1 = 0 г и вероятность Pi = 1 (как мы выяснили ранее).
Тогда, D = [(0-0)^2 * 1] = 0^2 * 1 = 0.
Итак, дисперсия массы небракованного шарика равна 0.
Ответ на вопрос: математическое ожидание массы G небракованного шарика равно 0 г, а дисперсия - 0 (г в квадрате).
Надеюсь, мой ответ был подробным и понятным для вас! Если остались еще вопросы, пожалуйста, спрашивайте.