Question

Дано комплексное число z = 3/2 - sqrt(3)/2*i 1) найти z + z(с чертой над z) , z * z(с чертой над z), z/z(с чертой над z). 2) записать z в тригонометрической форме, вычислить z^4, и корень квадратный в 4й степени z

Answer 1

Дано комплексное число $z$ в алгебраической форм:

   $z=\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$--------(1)

   где $i^{2}=-1$  по определению

Тогда $z^{*}$ комплексно-сопряженное числу комплексному числу $z$:

          $z^{*}=\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$-------(2)

 ( $z^{*}$ то же что у вас z с чертой!) 

а)  

   $z+z^{*}=\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i+\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i=$

     $=\frac{3}{2}+\frac{3}{2}=3$ 

$zz^{*}=(\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)(\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)=$

    $=[\frac{3}{2}]^{2}-[\frac{\sqrt{3}}{2}]^{2}*i^{2}=\frac{9}{4}+\frac{3}{4}=3$ 

 $\frac{z}{z^{*}}=\frac{(\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)}{(\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)}=\frac{3-\sqrt{3}i}{3+\sqrt{3}i}=\frac{(3-\sqrt{3}i)^{2}}{(3+\sqrt{3}i)(3-\sqrt{3}i)}=\frac{9-6\sqrt{3}i+3i^{2}}{9-3i^{2}}=\frac{6-6\sqrt{3}i}{12}=$

  $=\frac{6}{12}-\frac{6\sqrt{3}}{12}i=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$ 

б)  Запишем наше комплексное число $z$ в тригонометрической форме:

   $z=r(cos\phi+isin\phi)$--------(1)

где $r$ модуль комплексного числа $z$   

В нашем случае 

$r=\sqrt{(\frac{3}{2})^{2}+(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{3}{4}}=\sqrt{3}$---------(2) 

Итак, число $z$ в тригонометрической форме с учетом (1) и (2):

      $z=\sqrt{3}(cos\phi+i*sin\phi)$

Для нахождения четвертой степени числа $z$ применим формулу Муавра при $n=4$:

  $z^{4}=(\sqrt{3})^{4}(cos4\phi+i*sin4\phi)=9(cos4\phi+i*sin4\phi)($ 

Известно, что корень n-й степени из комплексного значения имеет n различных значений. В нашем случае нужно найти корень 2-й степени, а значит корень 2-й принимает два различных значения.

 $\sqrt{z^{4}}=\sqrt{9}(cos\frac{4\phi+2k\pi}{2}+i*sin\frac{4\phi+2k\pi}{2})$

 при $k=0; 1$

$\sqrt{z^{4}}=\sqrt{9}(cos2\phi+i*sin2\phi)$ при $k=0$

$\sqrt{z^{4}}=\sqrt{9}(cos3\phi+i*sin3\phi)$ при $k=1$