1)Ясно, что n = p и n = 2p при удовлетворяют условию, так как (n – 1)! не делится на p².
Легко видеть также, что 7! и 8! не могут делиться на 8² и 9² соответственно.
Докажем, что для остальных nчисло (n – 1)! делится на n². Пусть nимеет хотя бы два различных делителя. Среди чисел 1, ..., n – 1 есть хотя бы n/p – 1 число, кратное p. Если некоторое число p входит в разложения числа n в степени k, то n/p – 1 ≥ 2pk–1 – 1 ≥ 2k – 1 ≥ 2k – 1. Если n не имеет вид 2p, то хотя бы одно из написанных неравенств – строгое. Значит, n/p – 1 ≥ 2k и (n – 1)! делится на p2k. Поскольку это верно при всех p, то (n – 1)! делится на n².
Пусть теперь n = pk. Тогда n/p – 1 = pk–1 – 1. При p ≥ 5, либо p = 3 и k ≥ 3, либо p = 2 и k ≥ 5, это число не меньше 2k. Значит, (n – 1)! делится на n².
Случай n = 16 разбирается непосредственно.
Пошаговое объяснение:
Не забудь подписку и сердичку
420
Пошаговое объяснение:
Не указано в условии: цифры в числах повторяются или не повторяются?
Тогда на свой выбор будем решать при условии, что цифры в числах не повторяются.
A₇⁴ - количество четырёхзначных чисел с учётом того, что числа начинаются с цифры 0.
Следовательно:
A₇⁴-A₆³ - количество четырёхзначных чисел, которые не начинаются с 0.
Составим набор чисел, исключив цифру 3:
0; 1; 2; 4; 5; 6.
Повторяться не будем, сразу отметим, что:
A₆⁴-A₅³ - количество четырёхзначных чисел, которые не начинаются с 0 (без учёта цифры 3).
Количество четырёхзначных чисел из набора цифр 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 содержат цифру 3:
(A₇⁴-A₆³)-(A₆⁴-A₅³)=(7·6·5·4-6·5·4)-(6·5·4·3-5·4·3)=30(28-4)-60(6-1)=30(24-10)=420