Question

Из круглого листа вырезать такой сектор, чтобы, свернув его, получить воронку наибольшей вместимости

Answer 1

Пусть $x$ - длина дуги, ограничивающей искомый сектор, вырезаемый из круглого листа.

Пусть $l$ - радиус круглого листа и одновременно образующая конуса (воронки). 

Тогда радианная мера дуги $\alpha$, ограничивающей искомый сектор равна:

        $\alpha=\frac{x}{l}$ ---------(1)

 Нам необходимо найти при каком $x$ объем воронки (правильного конуса)

будет наибольшим. Запишем формулу объема $V$ конуса:

      $V=\frac{\pi*R^{2}*h}{3}$ --------(2)

где $R$ - радиус основания конуса; $h$ - высота конуса 

Поскольку длина окружности основания конуса равна $x$, то отсюда

             $R=\frac{x}{2\pi}$--------(3)

Высоту конуса найдем с теоремы Пифагора:

          $h=\sqrt{l^{2}-R^{2}}$-------(4)

Подставим в (4) вместо $R$ выражение (3):

         $h=\sqrt{l^{2}-(\frac{x}{2\pi})^{2}}$--------(5)

Подставим в (2) вместо $R$ и $h$ соотвественно выражения (3) и (5), получим:

      $V=A*x^{2}\sqrt{l^{2}-(\frac{x}{2\pi})^{2}}$--------(6)

   где $A=\frac{1}{12\pi}$ 

  Очевидно, что естественной областью определения объема как функции от $x$ есть интервал:

        $0<x<2\pi*l$ ------(7)

 Продифференцируем (6) по $x$:

  $V^{'}_{x}=A(2x\sqrt{l^{2}-(\frac{x}{2\pi})^{2}}-\frac{x^{3}}{4{\pi}^{2}\sqrt{l^{2}-(\frac{x}{2\pi})^{2}}})$, отсюда

   $V^{'}_{x}=\frac{Ax\sqrt{l^{2}-(\frac{x}{2\pi})^{2}}(8{\pi}^{2}l^{2}-3x^{2})}{4{\pi}^{2}(l^{2}-(\frac{x}{2\pi})^{2})}$ --------(8)

Чтобы функция (6) имела на естественной области ее определения максимум или минимум, необходимо чтобы $V^{'}_{x}=0$--------(9)

Тогда из (8) и (9) получим:

        $8{\pi}^2-3x^{2}=0$, отсюда с учетом, что $x0$, найдем критическую точку:

       $x_{o}=\pi*l*\sqrt{\frac{8}{3}}$, или

        $x_{o}=\frac{2{\pi}l\sqrt{6}}{3}$ 

  Поскольку естественной области определения (7)  принадлежит только одна критическая точка $x_{o}$  и поскольку на естественной области определения функция (6) принимает только положительные значения, то критическая точка $x_{o}$ - точка максимума функции (6). Другими словами, при $x_{o}$ объем воронки будет наибольшим.

Теперь мы можем найти радианную меру искомого сектора, для чего подставим в (1) вместо $x$ критическую точку $x_{o}$:

    $\alpha=\frac{x_{o}}{l}=\frac{2{\pi}l\sqrt{6}}{3l}=\frac{2{\pi}\sqrt{6}}{3}$