Щоб знайти площу фігури, обмеженої двома заданими функціями, потрібно знайти точки їх перетину та обчислити інтеграл площі між цими функціями на відрізку, де вони перетинаються.
Спочатку знайдемо точки перетину функцій y = x^2 та y = x + 2. Поставимо їх у рівняння:
x^2 = x + 2
x^2 - x - 2 = 0
Тепер розв'яжемо це квадратне рівняння. Застосуємо факторизацію або квадратне рівняння:
(x - 2)(x + 1) = 0
Отримали два розв'язки: x = 2 і x = -1.
Тепер обчислимо інтеграл площі між цими функціями на відрізку від x = -1 до x = 2. Функція y = x + 2 знаходиться над функцією y = x^2 на цьому відрізку.
Площа фігури S може бути обчислена за формулою:
S = ∫(x + 2 - x^2) dx, від x = -1 до x = 2.
S = ∫(2 - x^2) dx, від x = -1 до x = 2.
Знайдемо відповідний інтеграл:
S = [2x - (x^3 / 3)] | від x = -1 до x = 2
S = [2(2) - (2^3 / 3)] - [2(-1) - ((-1)^3 / 3)]
S = [4 - (8 / 3)] - [-2 + (1 / 3)]
S = 4 - (8 / 3) + 2 - (1 / 3)
S = 12/3 - 8/3 + 6/3 - 1/3
S = 9/3
S = 3
Отже, площа фігури, обмеженої лініями y = x^2 та y = x + 2, дорівнює 3 одиницям квадратних.
Щоб знайти площу фігури, обмеженої двома заданими функціями, потрібно знайти точки їх перетину та обчислити інтеграл площі між цими функціями на відрізку, де вони перетинаються.
Спочатку знайдемо точки перетину функцій y = x^2 та y = x + 2. Поставимо їх у рівняння:
x^2 = x + 2
x^2 - x - 2 = 0
Тепер розв'яжемо це квадратне рівняння. Застосуємо факторизацію або квадратне рівняння:
(x - 2)(x + 1) = 0
Отримали два розв'язки: x = 2 і x = -1.
Тепер обчислимо інтеграл площі між цими функціями на відрізку від x = -1 до x = 2. Функція y = x + 2 знаходиться над функцією y = x^2 на цьому відрізку.
Площа фігури S може бути обчислена за формулою:
S = ∫(x + 2 - x^2) dx, від x = -1 до x = 2.
S = ∫(2 - x^2) dx, від x = -1 до x = 2.
Знайдемо відповідний інтеграл:
S = [2x - (x^3 / 3)] | від x = -1 до x = 2
S = [2(2) - (2^3 / 3)] - [2(-1) - ((-1)^3 / 3)]
S = [4 - (8 / 3)] - [-2 + (1 / 3)]
S = 4 - (8 / 3) + 2 - (1 / 3)
S = 12/3 - 8/3 + 6/3 - 1/3
S = 9/3
S = 3
Отже, площа фігури, обмеженої лініями y = x^2 та y = x + 2, дорівнює 3 одиницям квадратних.