Question

Как это вычеслить интеграл​

Answer 1

В числителе делаем производную знаменателя:

(x^2+kx+10)' = 2x+k

$\int\limits \frac{5x + 1}{ \sqrt{ {x}^{2} + kx + 10 } } dx = \frac{5}{2} \int\limits \frac{ \frac{2}{5} (5x + 1)}{ \sqrt{ {x}^{2} + kx + 10 } } dx= \\ = \frac{5}{2} \int\limits \frac{2x + \frac{2}{5} }{ \sqrt{ {x}^{2} + kx + 10} }dx = \frac{5}{2} \int\limits \frac{2x + k - k + \frac{2}{5} }{ \sqrt{ {x}^{2} + kx + 10} } = \\ = \frac{5}{2} (\int\limits \frac{2x + k}{ \sqrt{ {x}^{2} + kx + 10} } dx+ \int\limits \frac{( - k + \frac{2}{5})dx }{ \sqrt{ {x}^{2} + kx + 1 0} } )=$

В первом интеграле числитель вносим под знак дифференциала

$\frac{5}{2} \int\limits \frac{d( {x}^{2} + kx + 10) }{ {( {x}^{2} + kx + 10)}^{ \frac{1}{2} } } + \frac{5}{2} \times ( - k + \frac{2}{5} )\int\limits \frac{dx}{ \sqrt{ {x}^{2} + kx + 10} } = \\ = \frac{5}{2} \times \frac{ {( {x}^{2} + kx + 10) }^{ \frac{1}{2} } }{ \frac{1}{2} } + ( - \frac{5k}{2} + 1)\int\limits \frac{dx}{ \sqrt{ {x}^{2} + kx + 10} } = \\ = 5 \sqrt{ {x}^{2} + kx + 10 } + (1 - \frac{5k}{2} )\int\limits \frac{dx}{ \sqrt{ {x}^{2} + kx + 10} }$

Во втором интеграле в знаменателе выделяем квадрат суммы:

${x}^{2} + kx + 10 = \\ = {x}^{2} + 2 \times x \times \frac{k}{2} + {( \frac{k}{2} )}^{2} - {( \frac{k}{2} )}^{2} + 10 = \\ = (x + \frac{k}{2} ) {}^{2} - \frac{ {k}^{2} }{4} + 10 = \\ = {(x + \frac{k}{2} )}^{2} + \frac{40 - {k}^{2} }{4} = \\ = {(x + \frac{k}{2}) }^{2} + {( \frac{ \sqrt{40 - {k}^{2} } }{2} )}^{2}$

Получаем:

$\int\limits \frac{dx}{ \sqrt{ {x}^{2} + kx + 10 } } = \int\limits \frac{dx}{ \sqrt{ {(x + \frac{k}{2} )}^{2} + {( \frac{ \sqrt{40 - {k}^{2} } }{2} )}^{2}} } = \\ = \int\limits \frac{d(x + \frac{k}{2}) }{ \sqrt{ {(x + \frac{k}{2} )}^{2} } + {( \frac{ \sqrt{4 0 - {k}^{2} } }{2} )}^{2} } = \\ = \frac{1}{ \frac{ \sqrt{40 - {k}^{2} } }{2} } arctg( \frac{x + \frac{k}{2} }{ \frac{ \sqrt{40 - {k}^{2} } }{2} } ) + C= \\ = \frac{2}{ \sqrt{40 - {k}^{2} } } arctg( \frac{2x + k}{ \sqrt{40 - {k}^{2} } } ) + C$

Получаем:

$5 \sqrt{ {x}^{2} + kx + 10} + (1 - \frac{5k}{2} ) \times \frac{2}{ \sqrt{40 - {k}^{2} } } arctg( \frac{2x +k }{ \sqrt{40 - {k}^{2} } } ) + C= \\ = 5 \sqrt{ {x}^{2} + kx + 10 } + \frac{2 - 5k}{ \sqrt{40 - {k}^{2} } } arctg( \frac{2x + k}{ \sqrt{40 - {k}^{2} } } ) + C$