Векторы образуют базис, если определитель, составленный из координат этих векторов, не равен нулю.
Найдем определитель
-1 -1 2
1 -7 -3 =
4 -2 -6
= -42+12-4-(-56+6-6)=56-34=22≠0
Над всеми векторами ставим черточки или стрелки.
(4;-10;-7) = α(-1;-1;2) + α(1;-7;-3) + α(4;-2;-6)
-1*α₁ + 1*α₂ + 4*α₃ = 4
-1*α₁ -7*α₂ -2*α₃ = -10
2*α₁-3*α₂ -6*α₃ = -7
Решаем эту систему уравнений методом Гаусса
1 -1 -4 -4
-1 -7 -2 -10
2 -3 -6 -7
сложим первую и вторую строки и отправим во вторую и первую. умноженную на -2 с третьей. отправим в третью. получим
1 1 4 4
0 -8 -6 -14
0 -1 2 1
Сложим третью, умноженную на минус 8 со второй и отправим во вторую результат.
1 1 4 4
0 0 -22 -22
0 -1 2 1
из второй строки -22*α₃ =-22, откуда α₃ =1, подставим в третью строку. получим -α₂ +2*α₃ =1, откуда α₂=1, и наконец, подставим полученное в первую строку 1*α₁ -1*α₂ -4*α₃ = -4, откуда α₁-1*1-4*1= -4, получаем α₁=1
d = 1*а+1*b +1*c
Проверим. (-1;-1;2)+(1;-7;-3)+(4;-2;-6)-(4;-10;-7)=d
Я решил от Вас не отставать и тоже решил несколько раз.)))
4)а) найдем координаты векторов →АD, →АС, →АВ. для чего от координат конца вектора отнимем координаты начала. получим
→АD(2+3; -1+3; 0-4), →АD(1;2;4);→АС(4;3;-8); →АВ(3;6;0)
Найдем смешанное произведение →АВ*(→АСх→АD), для чего найдем определитель третьего порядка
3 6 0
4 3 -8=
1 2 -4
=-36+0-48-(0-96-48)=60
Найдем модуль этого произведения и умножим на 1/6, получим 60/6=10
ответ 10
5) составим уравнение плоскости АВС, как плоскости. проходящей через три точки. для чего определитель приравняем к нулю.
Определитель
х-х₁ у-у₁ z-z₁
х₂-х₁ у₂-у₁ z₂-z₁ =0
х₃-х₁ у₃-у ₁ z₃-z₁
В нашем случае
х+4 у+1 z
4 0 -3
4 4 -4=
(х+4)*(0+12)-(у+1)*(-16+12)+z* (16-0)=0
12х+4у+16z+52=0
3х+у+4z+13=0
Теперь подставим точки в это уравнение и проверим. принадлежат ли они этой плоскости.
3х+у+4z+13=0
3*(-4)-1+4*0+13=0⇒А(-4;-1;0) принадлежит плоскости АВС
3*0-1-3*4+13=0⇒В(-0;-1;-3) принадлежит плоскости АВС
3*0+3-4*4+13=0⇒С(-0;3;-4) принадлежит плоскости АВС
4б)
Уравнение плоскости ВСD, на которую опускаем высоту из вершины А, найдем аналогично 5)
х-0 у-3 z-4
1 -3 -8 =0
-2 -4 -4
x*(12-32)-(e-3)*(-4-16)+(z-4)*()-4-6=0
-20x+20y-10z-20=0
-2x+2y-z-2=0
Высоту найдем как расстояние от точки А(х₀;у₀;z₀) до плоскости ВСD
IA*x₀+B*y₀+C*z₀+DI/√( А²+В²+С²)=I-2*(-3)-2*3-1*4-2I/√( 4+4+1²=6/√9=6/3=2