Question

14 Сергей разделил задуманное им натуральное число на 6, потом разделил задуманное число
на 7, а затем разделил задуманное число на 8, получив в каждом из случаев некоторый
остаток. Сумма этих остатков равна 18. Какой остаток даёт задуманное Сергеем число
при делении на 282
Запишите решение и ответ.

Answer 1

Если мы делили исходное число на 4, 6 и на 8, то мы сможем рассмотреть максимальную сумму остатков при делении на эти числа.

Она равна 3 + 5 + 7 = 15 (так как 3, 5 и 7 - это максимальные остатки при делении на 4, 6 и 8 соответственно).

По условию, именно такая (максимальная) сумма получилась у Вани. Отсюда следует, что:

   при делении на 4 задуманное число дает остаток 3;

   при делении на 6 задуманное число дает остаток 5;

   при делении на 8 задуманное число дает остаток 7.

Осталось только посчитать остаток при делении на 12. [Первое условие (про делении на 4) можно теперь откинуть (так как оно автоматически следует из третьего условия, про деление на 8). Но это не так уж и принципиально.]

Можем сделать вывод, что если к задуманному числу прибавить единицу, то получится число, делящееся на НОК(4;6;8) = 24. И, в частности, делящееся на 12.

Значит, при делении на 12 задуманное число дает остаток 11.

Подтверждающим примером является число 23, которое удовлетворяет всем исходным условиям задачи.

ответ: 11.