Question

Вычислить длину дуги кривой (Кардиоида)

Answer 1

Пошаговое объяснение:

в общем-то можно и не считать, потому как есть формула для расчета длины кардиоиды r=a(1-cosФ)

Р = 8a, т.е. в нашем случае Р = 8*3=24

однако, проверим

формула длины дуги

$\int\limits^{\phi_2}_{\phi_2} {(\sqrt{(r')^2+r^2)}} \, d\phi$

у нас кардиоида симметрично относительно оси ох, поэтому сосчитаем от 0 до π и умножим на 2

итак

$\displaystyle P=2\int\limits^\pi _0 {\sqrt{(3sin\phi)^2+(3(1-cos\phi ))^2}} \, dx =$

$\displaystyle =2*3\int\limits^\pi _0 {\sqrt{sin^2\phi +cos^2\phi+1-2cos\phi} } \, d\phi=$

$\displaystyle = 2*3\int\limits^\pi _0 {\sqrt{2-2cos\phi} } \, d\phi= 2*3*\sqrt{2} \int\limits^\pi _0 {\sqrt{1-cos\phi} } \, d\phi=$

$\displaystyle =2*3*\sqrt{2} \int\limits^\pi _0 {\sqrt{2sin^2\frac{\phi}{2} } } \, d\phi=6*\sqrt{2} *\sqrt{2} \int\limits^\pi _0 {sin\frac{\phi}{2} } \, d\phi=$

$\displaystyle =24\left[\begin{array}{ccc}u=\phi/2\hfill \\du = \frac{1}{2} d\phi \hfill\\u_1=0 \quad u_2=\pi /2\end{array}\right] =24\int\limits^{\pi /2}_0 {sinu} \, du=24*(-cosu)\bigg |_0^{\pi /2}=24$

что и требовалось доказать......