Question

Найти непределённый интеграл sin^3 х cos^4 x dx

Answer 1

$\frac{cos^{7}(x) }{7} -\frac{cos^{5}(x) }{5} +C$

Пошаговое объяснение:

$\int\limits {sin^{3}(x)*cos^{4}(x) } \, dx =\int\limits {sin(x)*sin^{2}(x)*cos^{4}(x) } \, dx\\$

            сделаем замену: $sin^{2}$   $[sin^{2}(x)=1-cos^{2}]$

(по тригонометрической формуле)

$\int\limits {cos^{4}(x)*sin^{2}(x)*sin(x) } \, dx=\int\limits {cos^{4}(x)*(1-cos^{2}) *sin(x) } \, dx$

            используем подстановку: $u=cos(x)\\du=-sin(x) dx\\-du=sin(x) dx$  

$\int\limits {cos^{4}(x)*(1-cos^{2}) *sin(x) } \, dx=\int\limits {u^{4}*(1-u^{2}) } \, (-du) = \int\limits {u^{4}*(u^{2}-1 )} \, du =\int\limits {(u^{6}-u^{4} )} \, du = \int\limits {u^{6}} \, du - \int\limits {u^{4} } \, du = \int\limits {\frac{u^{6+1}}{6+1} } \, du - \int\limits {\frac{u^{4+1} }{4+1} } \, dx = \frac{u^{7} }{7}-\frac{u^{5} }{5} +C$

            вернёмся к подстановке: $u=cos(x)$

$\frac{u^{7} }{7}-\frac{u^{5} }{5} +C =\frac{cos^{7}(x) }{7} -\frac{cos^{5}(x) }{5} +C$

(к замене не возвращаемся, так как это тригонометрическая формула, если бы мы sin(x) заменяли на какую-то букву, например (t), то пришлось бы к замене возвращаться)