Question

Сделайте математику , заранее

Answer 1

3.

${d {}^{2} z} = z''_{xx}dx {}^{2} + z''_{xy}dxdy + z''_{yy}dy {}^{2} \\$

а)

$z = x \sqrt{y}$

$z'_x = \sqrt{y} \\ z'_y = x \times \frac{1}{2} {y}^{ - \frac{1}{2} } = \frac{x}{2 \sqrt{y} }$

$z''_{xx} = 0$

$z''_{yy} = \frac{x}{2} \times ( - \frac{1}{2} ) {y}^ {- \frac{3}{2} } = - \frac{x}{4y \sqrt{y} } \\$

$z''_{xy }= ( \sqrt{y} )y = \frac{1}{2 \sqrt{y} } \\$

$d {}^{2} z = - \frac{x}{4 y \sqrt{y} } dxdy + \frac{1}{2 \sqrt{y} } dy {}^{2} \\ d {}^{2} z = \frac{1}{2 \sqrt{y} } ( - \frac{x}{2y} dxdy + dy {}^{2} )$

б)

$z = {x}^{ - 3} + 2y$

$z'_x = - 3 {x}^{ - 4} = - \frac{3}{ {x}^{4} } \\$

$z'_y = 2$

$z''_{xx} = - 3 \times ( - 4) {x}^{ - 5} = \frac{12}{ {x}^{5} } \\$

$z''_{yy} = 0$

$z''_{xy} = 0$

${d}^{2} z = \frac{12}{ {x}^{5} } dx {}^{2} \\$

4.

$u = 2 {x}^{2} - 2 {y}^{2}$

$u'_x = 4x$

$u'_y = - 4y$

$u''_{xx} = 4$

$u''_{yy}=-4$

Подставляем в равенство:

$4 + ( - 4) = 0 \\ 0 = 0$

выполняется