Question

Решите на множестве R уравнение: В теме синусы и косинусы и т.д
Оно на фотографии ниже
Решите полным ответом и если возможно то в письменном виде ответ тоесть в тетради, ну или как вам легче
Заранее ,

Answer 1

Эти уравнения не такие страшные и сложные, какими могут показаться на первый взгляд, здесь всего-навсего нужно делать замены:

а) $2sin^2x - sinx - 1 = 0$

Пусть $sin x = t$, имеем:

$2t^2 - t - 1 = 0\\\\D - (-1)^2 - 4 * 2 * (-1) = 1 + 8 = 9\\\\t_1 = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}\\\\t_2 = \frac{1+3}{4} = \frac{4}{4} = 1$

Вернёмся к замене:

Теперь найденные корни подставляем вместо t в sinx = t и ищем новые корни:

$sinx = -\frac{1}{2} \\\\x = (-1)^narcsin(-\frac{1}{2}) + \pi n\\\\x = -(-1)^narcsin(\frac{1}{2}) + \pi n\\\\x = -(-1)^n\frac{\pi}{6} + \pi n$

$sinx = 1\\\\x = \frac{\pi}{2} + 2 \pi n$

ответ: $x = -(-1)^n\frac{\pi}{6} + \pi n$  и   $x = \frac{\pi}{2} + 2 \pi n$

б) $cos^2x - 5cosx + 6 = 0$

Пусть $cosx = t$, имеем:

$t^2 - 5t + 6 = 0\\\\D = (-5)^2 - 4 * 1 * 6 = 25 - 24 = 1\\\\t_1 = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2\\\\t_2 = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Вернёмся к замене:

$cosx = 2$

Мы знаем, что cos x не может быть больше 1 или меньше -1 (область значений: [-1; 1]), поэтому данное уравнение не имеет корней:

x ∈ ∅

$cos x = 3$

Аналогичная ситуация:

x ∈ ∅

ответ: корней нету (или x ∈ ∅, или х ∉ R)

в) $tg^2x - 7tgx + 12 = 0\\\\$

Пусть $tgx = t$, имеем:

$t^2 - 7t + 12 = 0\\\\D = (-7)^2 - 4 * 1 * 12 = 49 - 48 = 1\\\\t_1 = \frac{7-1}{2} = \frac{6}{2} = 3\\\\t_2 = \frac{7+1}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Вернёмся к замене:

$tgx = 3$

Обрати внимание на то, что тангенс может быть каким угодно числом (его область значений (-∞; +∞)), поэтому это уравнение имеет корни:

$x = arctg(3) + \pi n$

$tgx = 4\\\\x = arctg(4) + \pi n$

ответ: $x = arctg(3) + \pi n$  и  $x = arctg(4) + \pi n$

г) $2cos^25x + sin5x + 1 = 0$

Всю малину портит косинус, поэтому сделать замену тут нельзя. Чтобы решить эту проблему, добудем синус из косинуса по формуле: $cos^2x = 1 - sin^2x$

Имеем:

$2(1-sin^25x) + sin5x + 1 = 0\\\\2 - 2sin^25x + sin5x + 1 = 0\\\\-2sin^25x + sin5x + 3 = 0\\\\2sin^25x - sin5x - 3 = 0\\$

Пусть $sin5x = t$, имеем:

$2t^2 - t - 3 = 0\\\\D = (-1) - 4 * 2 * (-3) = 1 + 24 = 25\\\\t_1 = \frac{1-5}{4} = -\frac{4}{4} = -1\\\\t_2 = \frac{1 + 5}{4} = \frac{6}{4}$

Второй корень не подходит, т.к. $\frac{6}{4} 1$.

Вернёмся к замене:

$sin 5x = -1\\\\5x = -\frac{\pi}{2} + 2 \pi n\\\\x = -\frac{\pi}{10} + \frac{2 \pi n}{5}$

ответ: $x = -\frac{\pi}{10} + \frac{2 \pi n}{5}$