Question

Найти дифференциал функции: $y=\frac{1}{\sqrt[3]{x^2} } e^{x^3-2arctgx^2+\frac{1}{2}ln x^3-1}$

Answer 1

$y=\dfrac{1}{\sqrt[3]{x^2} } e^{x^3-2\mathrm{arctg}\,x^2+\frac{1}{2}\ln x^3-1}$

Дифференциал функции:

$dy=y'dx$

Найдем производную:

$y'=\left(\dfrac{1}{\sqrt[3]{x^2} }\right)' e^{x^3-2\mathrm{arctg}\,x^2+\frac{1}{2}\ln x^3-1}+\dfrac{1}{\sqrt[3]{x^2} } (e^{x^3-2\mathrm{arctg}\,x^2+\frac{1}{2}\ln x^3-1})'=$

$=\left(x^{-\frac{2}{3} }\right)' e^{x^3-2\mathrm{arctg}\,x^2+\frac{1}{2}\ln x^3-1}+\\+\dfrac{1}{\sqrt[3]{x^2} } e^{x^3-2\mathrm{arctg}\,x^2+\frac{1}{2}\ln x^3-1}\cdot(x^3-2\mathrm{arctg}\,x^2+\frac{1}{2}\ln x^3-1)'=$

$=-\dfrac{2}{3} x^{-\frac{2}{3}-1 } e^{x^3-2\mathrm{arctg}\,x^2+\frac{1}{2}\ln x^3-1}+\\+\dfrac{1}{\sqrt[3]{x^2} } e^{x^3-2\mathrm{arctg}\,x^2+\frac{1}{2}\ln x^3-1}\cdot\left(3x^2-2\cdot\dfrac{1}{1+(x^2)^2}\cdot(x^2)'+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{x^3}\cdot(x^3)'\right)=$

$=-\dfrac{2}{3} x^{-\frac{5}{3} } e^{x^3-2\mathrm{arctg}\,x^2+\frac{1}{2}\ln x^3-1}+\\+\dfrac{1}{\sqrt[3]{x^2} } e^{x^3-2\mathrm{arctg}\,x^2+\frac{1}{2}\ln x^3-1}\cdot\left(3x^2-2\cdot\dfrac{1}{1+x^4}\cdot2x+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{x^3}\cdot3x^2\right)=$

$=-\dfrac{2}{3\sqrt[3]{x^5} } e^{x^3-2\mathrm{arctg}\,x^2+\frac{1}{2}\ln x^3-1}+\\+\dfrac{1}{\sqrt[3]{x^2} } e^{x^3-2\mathrm{arctg}\,x^2+\frac{1}{2}\ln x^3-1}\left(3x^2-\dfrac{4x}{1+x^4}+\dfrac{3}{2x}\right)=$

$=-\dfrac{2}{3x\sqrt[3]{x^2} } e^{x^3-2\mathrm{arctg}\,x^2+\frac{1}{2}\ln x^3-1}+\\+\dfrac{1}{\sqrt[3]{x^2} } e^{x^3-2\mathrm{arctg}\,x^2+\frac{1}{2}\ln x^3-1}\left(3x^2-\dfrac{4x}{1+x^4}+\dfrac{3}{2x}\right)=$

$=\dfrac{e^{x^3-2\mathrm{arctg}\,x^2+\frac{1}{2}\ln x^3-1}}{\sqrt[3]{x^2} }\left(3x^2-\dfrac{4x}{1+x^4}+\dfrac{3}{2x}-\dfrac{2}{3x} \right)=$

$=\dfrac{e^{x^3-2\mathrm{arctg}\,x^2+\frac{1}{2}\ln x^3-1}}{\sqrt[3]{x^2} }\left( 3x^2-\dfrac{4x}{1+x^4}+\dfrac{9}{6x}-\dfrac{4}{6x} \right)=$

$=\dfrac{e^{x^3-2\mathrm{arctg}\,x^2+\frac{1}{2}\ln x^3-1}}{\sqrt[3]{x^2} }\left( 3x^2-\dfrac{4x}{1+x^4}+\dfrac{5}{6x}\right)$

Запишем дифференциал функции:

$dy=\dfrac{e^{x^3-2\mathrm{arctg}\,x^2+\frac{1}{2}\ln x^3-1}}{\sqrt[3]{x^2} }\left( 3x^2-\dfrac{4x}{1+x^4}+\dfrac{5}{6x}\right)dx$