Question

с уравнением)) 30б Задание Найти "ЧАСТНОЕ" решение дифференциального уравнения y''+18y'+81y=0 если y(0) =-2, y'(0) = 8

Answer 1

$y ''+ 18y' + 81y = 0 \\ \\ y = {e}^{kx} \\ \\ {e}^{kx}( k {}^{2} + 18 k + 81) = 0 \\ D= 324 - 324 = 0 \\ k_1 = k_2 = \frac{ - 18}{2} = - 9 \\ y = C_1 {e}^{ - 9x} + C_2 {e}^{ - 9x} x$

общее решение

$y(0) = - 2,y'(0) = 8$

$y' = - 9C_1 {e}^{ - 9x} + C_2e {}^{ - 9x} - 9 C_2e {}^{ - 9x} x \\$

$\left \{ {{C_1 + 0 = - 2} \atop { - 9C_1 + C_2 = 8} } \right. \\ \\ \left \{ {{C_1 = - 2} \atop {C_2 = 8 + 9C_1} } \right. \\ \\ \left \{ {{C_1 = - 2} \atop {C_2 = - 10} } \right.$

$y = - 2 {e}^{ - 9x} - 10 {e}^{ - 9x}x = \\ = {e}^{ - 9x} ( - 10x - 2)$

частное решение