Question

Признаки сходимости ряда. Ряды Тейлора и Маклорена решитее !

Answer 1

1.

$\sum\limits^\infty_{n=1}\frac{1}{n^2}$  - ряд сходится

$(2n+1)^2 = 4n^2+4n+1 \\ \\ 4n^2+4n+1 n^2 \\ \\ \frac{1}{4n^2+4n+1}\leq \frac{1}{n^2} \ \ = \sum\limits^\infty_{n=1} \frac{1}{(2n+1)^2}$  сходится

2.

$x-a = x+1 \\ \\ a=-1 \\ \\ f(x)=f(a)+\frac{f'(a)}{1!}\cdot (x-a)+\frac{f''(a)}{2!}\cdot (x-a)^2+...+\frac{f^n(a)}{n!}\cdot (x-a)^n \\ \\ f(x)=f(-1)+\frac{f'(-1)}{1!}\cdot (x+1)+\frac{f''(-1)}{2!}\cdot (x+1)^2+...+\frac{f^n(-1)}{n!}\cdot (x+1)^n \\ \\ f(a)=f(-1)=e^{-3\cdot (-1)}=e^3 \\ \\f'(x) =(e^{-3x})'=-3e^{-3x} \\ \\ f'(-1)=-3\cdot e^3=-3e^3=-3\cdot f(-1) \\ \\ f''(x)=(-3\cdot 3^{-3x})'=9e^{-3x} \\ \\ f''(-1)=9e^3 =(-3)\cdot f'(-1)=9f(-1)\\ \\ f'''(x)=(9e^{-3x})'=-27e^{-3x}$

$f'''(-1)=-27e^3=-27\cdot f(-1)$

$\\ \\ f(x)=e^3-3e^3\cdot (x+1) +\frac{9}{2}e^3\cdot (x+1)^2 -\frac{9}{2}e^3\cdot (x+1)^3+...=\sum\limits^\infty_{n=1}\frac{(-1)^n\cdot e^3\cdot 3^n (x+1)^n}{n!}=\\ \\ = \sum\limits^\infty_{n=1}\frac{(-3)^n\cdot e^3 (x+1)^n}{n!}$

3

$f(0)=\sin^2{0}=0 \\ \\ f'(x)=(\sin^2{x})'=2\sin{x}\cdot \cos{x}=\sin{2x} \\ \\ f'(0)=2\sin{2\cdot 0}=0 \\ \\ f''(x)=(\sin{2x})'=2\cos{2x} \\ \\ f''(0)=2\cdot 1=2\\ \\ f'''(x)=(2\cos{2x})'=-4\sin{2x} \\ \\ f'''(0)=0 \\ \\ f^{IV}(x)=(-4\sin{2x})^{IV}=-8\cos{2x} \\ \\ f^{IV}(0)=-8 \\ \\ f(x)=0+0+\frac{2}{2!}\cdot x^2+0-\frac{8}{4!}x^4+...=x^2-\frac{x^4}{3}=\\ \\ =-\sum\limits^\infty_{n=1}\frac{(-1)^n\cdot x^{2n}\cdot 2^{2n-1}}{(2n)!}$