Question

диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О рисунок 2 Найдите периметр прямоугольника если АО равно 12 см угол АОD равно 120°​

Answer 1

12+12√3 cм

Пошаговое объяснение:

Для того, чтобы найти периметр нам нужно знать длины двух сторон: P=(AB+CD)*2. Как мы знаем, угол при вершине С в треугольнике ACD равен половине угла AOD, а если не знаем, то докажем: пусть угол в 120 градусов равен фи, тогда

∠DOC=180º-∠AOD=180º-φ (как смежные).

Треугольник COD — равнобедренный с основанием CD

(OC=OD по свойству диагоналей прямоугольника). Тогда

$\[\angle OCD = \frac{{{{180}^o} - \angle AOD}}{2} = \frac{{{{180}^o} - ({{180}^o} - \varphi )}}{2} = \] \[ = \frac{{{{180}^o} - {{180}^o} + \varphi }}{2} = \frac{\varphi }{2}.\]$

(как угол при основании равнобедренного треугольника).

Следовательно мы доказали то, что хотели

, значит он(угол С) равен 60 градусов, тогда угол A в этом же треугольнике ACD равен 30 градусов(т.к. треугольник прямоугольный), тогда по следствию из Т. Пифагора, катет лежащий напротив угла в 30 градусов(СD) равен половине гипотенузы(AC=2AO), следовательно АО=СД, а значит этот треугольник ОСD равносторонний, что можно было понять чуть раньше, т.к. угол при вершине О = 60 градусов и угол при вершине С тоже 60, но о том, что если у треугольника углы по 60 градусов, то он равносторонний знают не все, поэтому довел до этапа с длинами. Найдем длину АD как катет по Т. Пифагора. АС=12, СД=6, следовательно АД равно

AD=√144-36=6√3

А теперь найдем периметр: 2*(6√3+6)=12+12√3 cм

Answer 2

Р = 12√3 + 24

Пошаговое объяснение:

Диагонали в точке пересечения делятся пополам =>

АС = АО +ОС = 12+ 12 = 24

BD = AC = 24

треугольник АОD равнобедренный, т. к АО =OD - по условию => угол DAO = углу ADO = 30°

Р прямоугольника = (DC + AD) * 2

найдём DC

в треугольнике ADC - п/у

DC = 1/2 AC - по св п/у треуг

DC = 1/2 24 = 12

найдём AD

проведём высоту OM и получим п/у треугольник

т. к. угол АОМ = 60° - т. к. высота в р/б треугольнике является биссектрисой => угол МАО = 30°

=> ОМ = 1/2 АО - по свойству п/у треугольника

ОМ = 1/2 12 = 6

ПО ТЕОРЕМЕ ПИФАГОРА НАЙДЁМ AD

AD² + OM² = AO²

AD² + 6² = 12²

AD² + 36 = 144

AD² = 144 - 36

AD² = 108

AD = √108 = 6√3

Р прямоугольника =( 6√3 + 12)* 2 = 12√3 + 24