Задача. Шарик массой m = 200 г, подвешенный к потолку на невесомой пружине жёсткостью k = 90 H/м, вначале неподвижен. Ему ударом сообщили скорость (знак похожий на U)0 = 1,5 м/с, направленную вертикально. За время удара шарик не сместился. Найди, через какое время T после удара шарик в первый раз остановился, а также амплитуду его последующих колебаний A. (Время T вырази в миллисекундах, а амплитуду A - в сантиметрах, округлив результаты до целых значений.) ответ:T (примерно=) мс, A (примерно=) см.
Первым шагом будет определение периода колебаний T. Период колебаний связан с жесткостью пружины и массой шарика следующим образом:
T = 2π * √(m/k)
где π ≈ 3.14159
Подставляя значения m = 200 г и k = 90 H/м, получим:
T = 2π * √(0.2 кг / (90 H/м))
T = 2π * √(0.2 / 90) сек
T ≈ 2π * √0.0022 сек
Теперь найдем время T после удара, через которое шарик в первый раз остановится. Если шарик остановился, это означает, что его кинетическая энергия полностью превратилась в потенциальную энергию упругой деформации пружины.
Кинетическая энергия шарика можно найти по формуле:
K = (m * V^2) / 2
где m - масса шарика (0.2 кг) и V - его скорость удара (1.5 м/с).
Потенциальная энергия упругой деформации пружины (Eп) равна (k * x^2) / 2, где x - смещение шарика от положения равновесия (в данном случае его отсутствие).
Используя принцип сохранения механической энергии, получаем:
K = Eп
(m * V^2) / 2 = (k * x^2) / 2
(0.2 кг * (1.5 м/с)^2) / 2 = (90 H/м * x^2) / 2
(0.2 * 2.25) / 2 = (90 / 2) * x^2
0.225 = 45 * x^2
x^2 = 0.225 / 45
x = √(0.005)
x ≈ 0.071 см
Таким образом, шарик сместился на 0.071 см от положения равновесия и это значение является амплитудой его колебаний (A).
Теперь мы можем рассчитать время T, которое потребуется шарику, чтобы остановиться. В гармонических колебаниях, период T связан с амплитудой A следующим образом:
T = 2π * √(A / g)
где g - ускорение свободного падения (приближенное значение 9.8 м/с^2).
Подставляя значение A ≈ 0.071 см, получаем:
T = 2π * √(0.071 см / (9.8 м/с^2))
T = 2π * √(0.071 / 9.8) сек
T ≈ 2π * √0.007244 сек
Так как в ответе требуется значение времени в миллисекундах, умножим полученное значение на 1000:
T ≈ 2π * 1000 * √0.007244 мс
T ≈ 2 * 3.14159 * 1000 * √0.007244 мс
T ≈ 6.28318 * 1000 * √0.007244 мс
T ≈ 626.318 мс
Округляем полученное значение до целого значения:
T ≈ 626 мс
Итак, ответ на задачу: через примерно 626 миллисекунд после удара шарик в первый раз остановится, а амплитуда его последующих колебаний составит примерно 0.071 сантиметра (см).