От противного: пусть это невозможно. выберем 52 числа таких, что из них нельзя выбрать два, сумма или разность которых делится на 100. рассмотрим эти числа. пусть число дает остаток k, при делении на 100, тогда среди этих 52 чисел не должно быть другого числа, которое дает остаток k или 100-k.. всего возможных различных остатков от деления на 100 сто штук (0,1, 2...99). мы видим, что каждое из чисел "забирает" два остатка из этого перечня. т. е. когда мы рассмотрим 50 чисел из этого списка, то у нас не останется "свободных" остатков для 51, следовательно исходное предположение неверно и среди 52 чисел всегда можно выбрать такую пару, чтд ЗЫ на самом деле из этого доказательства видно, что и для 51 числа утверждение верно.
Процесс заселения полуострова, увеличение численности его населения сопровождались изменением специализации и форм хозяйственного освоения территории. Издавна в северной равнинной части Крыма обитали племена скотоводов-кочевников. Несколько позже, в VII в. до н.э., появились античные города-крепости, население которых занималось земледелием и торговлей. В средневековье земледелие распространилось на горный и предгорный Крым, расширились торговые связи. При этом заселенные территории занимали относительно небольшие площади. В связи с необходимостью защиты городов от набегов кочевников возводились оборонительные стены, которые ограничивали рост городов вширь. Особенно показательно в этом отношении сравнение площадей и численности населения средневековых и современных городов. Например, Мангуп-кале (столица княжества Феодоро) при численности населения, равной современному населению г.Бахчисарая, занимал территорию, которая составляла лишь 1/8 площади города, Бахчисарая. После присоединения Крыма Россией (1783 г.) произошли существенные изменения в социально-экономическом развитии по сравнению с прежним периодом. Стали развиваться новые виды хозяйствования, что не могло не отразиться на расселении населения. Появляются новые поселения, как сельские (например, Петровская слобода, Зуя, Мазанка, Изюмовка и др.), так и городские (Севастополь, Симферополь). Быстро развиваются старые города — Керчь, Евпатория, Феодосия. В годы Крымской войны 1854-1855 гг. и в послевоенный период значительно уменьшилась численность населения. Крым покинули почти 150 тысяч крымских татар и 5 тыс. ногайцев. Из 687 крымских населенных пунктов 315 совершенно опустели. После отмены крепостного права, начиная с 1865 по 1897 год, население Крыма увеличилось почти в 3 раза и достигло численности 545 тыс.чел. (см.Приложение 2). Основную массу населения составили государственные крестьяне из числа русских и украинских переселенцев, за которыми закреплялись наделы земель. Таким образом, население — это очень динамичная социально-экономическая категория общества. После 1897 г. под влиянием экономических, социальных и политических факторов численность населения Крыма постоянно изменялась во времени. К 1913 г. численность населения составляла 729 тыс.чел. Однако в результате октябрьских событий 1917 г. численность населения в Крыму уменьшилась до 711 тыс.чел. К началу второй мировой войны (к 1940 г.) численность населения возросла до 1 млн 127 тыс. человек. В годы второй мировой войны потери людских ресурсов в Крыму были крайне велики (свыше 85 тыс.чел. были вывезены в Германию, 90 тыс.чел. было уничтожено). На уменьшение численности в тот период сказалась и антинародная сталинская политика. Насильственно, в канун войны из Крыма были выселены первоначально немцы, затем в мае 1944 г. крымские татары, в июне — греки, болгары и представители других национальностей. Численность населения республики к 1950 г. уменьшилась до 823 тыс.чел. С конца 40-х — начала 50-х годов Крым интенсивно заселяется переселенцами из западных областей Украины и Центральных областей (преимущественно из Центрально-Черноземного экономического района) России и Белоруссии. В результате этого к 1959 г. численность населения в Крыму возросла до 1 млн 202 тыс.чел. Все последующие годы по 1993 г. численность населения постоянно возрастала. Наиболее быстрыми темпами население увеличивалось за период с 1985 по 1993 г. Среднегодовые темпы роста за этот период составили 1,5% (за период с 1980 по 1985 г. среднегодовые темпы роста населения составляли менее одного процента). Высокие темпы роста населения в последние годы объясняются массовым возвращением в Крым депортированных крымских татар и представителей других национальностей. На динамику численности населения оказывает влияние не только механическое, но и его естественное движение. Значение естественного движения как источника увеличения численности населения в Крыму постоянно снижается. В конце 80-х — начале 90-х годов наблюдается устойчивая тенденция снижения рождаемости, возрастания смертности, уменьшения средней продолжительности жизни и, в целом, — уменьшение темпов прироста населения (за исключением миграционного притока крымскотатарского населения). Некоторое увеличение рождаемости наблюдалось в 1983-1984 гг., когда рождаемость в целом по Крыму составляла 16-17‰, затем началось снижение рождаемости и, соответственно, естественного прироста. В последние годы рождаемость в Крыму упала до 12‰, а смертность возросла до 10,9‰, следовательно, естественный прирост находился на уровне всего 1,1 ‰ (1991 г.). Особенно ухудшилась демографическая ситуация в городах. Так, если в сельской местности естественный прирост с 1985 г. уменьшился в два раза, то в городах за этот период он уменьшился в 17 раз
