Question

Знайти частинний розв’язок диференціального рівняння:
y"=2у', якщо х=0, то у=1,5, та y'=1

Answer 1

$y'' = 2y' \\ \\ y'= v(x) \\ y''= v'(x) \\ \\ y'= 2v \\ \frac{dv}{dx} = 2 v \\ \int\limits \frac{dv}{v} = 2\int\limits \: dx \\ ln(v) = 2x + C_1 \\ v = {e}^{2x + C_1} \\ y'= {e}^{2x + C_1} \\ y = \int\limits {e}^{2x + C_1} = \frac{1}{2} \int\limits {e}^{2x + C_1} d(2x + C_1) = \\ = \frac{1}{2} {e}^{2x + C_1} + C_2$

общее решение

$y(0) = 1.5,y'(0) = 1$

$1.5 = \frac{1}{2} {e}^{c1} + C_2 \\ 1 = {e}^{C_1} \\ \\ C_1 = 0 \\ C_2 = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = 1$

$y = \frac{1}{2} {e}^{2x} + 1 \\$

частное решение