Question

Дослідити функцію
До іть, будь ласка
ів
​

Answer 1

Пошаговое объяснение:

1) ООФ

здесь знаменатель всегда ≠ 0, поэтому ООФ - вся числовая ось

2) функция не тригонометрическая

3) пересечение с осью оу (х = 0)

у(0) = 0 точка (0;0)

с осью ох (у=0)

из дроби приравниваем к 0 числитель

5х² -30х = 5х(х -6) ⇒  

х₁ = 0  точка (0;0)

х₂ = 6 точка (6;0)

4) критические точки

для нахождения производной используем

$\displaystyle \bigg (\frac{u}{v} \bigg )' = \frac{u'v-uv'}{v^2}$

тогда

$\displaystyle y'(x) = \frac{(5x^2-30x)'(x^2+1) - (5x^2-30x)(x^2+1)'}{(x^2+1)^2} =\frac{30x^2+10x-30}{(x^2+1)^2}$

y'(x) = 0

10(3x² +x-3) = 0  ⇒  (значения определяем с точностью до 0,01)

$\displaystyle x_1 =\frac{-1-\sqrt{37} }{6} \approx-1.18$

$\displaystyle x_2 =\frac{-1+\sqrt{37} }{6} \approx0.8$

y(x₁) ≈ 17.707  точка (-1,18; 17,7)

у(х₂) ≈ -12,7   точка (0,8; -12,7)

5) промежутки возрастания и убывания. экстремумы

локальные экстремумы

у(≈-1,18) ≈ 17,7  - локальный максимум

у(≈0,8) ≈ -12,7 - локальный минимум

промежутки монотонности

(-∞ ;-1.18)   f'(x) > 0 функция возрастает

(-1.18; 0.8) f'(x) < 0 функция убывает

(0.8; +∞)   f'(x) > 0 функция возрастает

6)

6) поскольку промежуток ООФ, то концы промежутка (-∞; +∞)

при х → -∞ f(x) f(x) → -∞

при х → +∞ f(x) f(x) → +∞

7)

точки  (0;0)  (6;0)

(-1,18; 17,7)  - локальный максимум

(0,8; -12,7) - локальный минимум

промежутки монотонности

(-∞ ;-1.18)   f'(x) > 0 функция возрастает

(-1.18; 0.8) f'(x) < 0 функция убывает

(0.8; +∞)   f'(x) > 0 функция возрастает

график прилагается