Question

Найдите частное решение диффереанциального уравнения;​

Answer 1

1

$y' = \frac{x}{y} \\ \frac{dy}{dx} = \frac{x}{y} \\ \int\limits \: ydy =\int\limits \: xdx \\ \frac{ {y}^{2} }{2} = \frac{ {x}^{2} }{2} + C\\ {y}^{2} = {x}^{2} + C$

общее решение

$y(1) = - 2$

$4 = 1 + C \\ C = 3$

${y}^{2} = {x}^{2} + 3$

частное решение

2.

$y' = 3y {x}^{2} \\ \frac{dy}{dx} = 3y {x}^{2} \\ \int\limits \frac{dy}{y} = \int\limits3 {x}^{2} dx \\ ln( |y| ) = \frac{3 {x}^{3} }{3} + C \\ ln( |y| ) = {x}^{3} + C$

общее решение

$y(1) = 1$

$ln(1) = 1 + C \\ C = - 1$

$ln(y) = {x}^{3} - 1$

частное решение

3.

$2y' = \frac{ \cos(x) }{y} \\ 2\int\limits \: ydy = \int\limits \cos(x) dx \\ 2 \times \frac{ {y}^{2} }{2} = \sin(x) + C\\ {y}^{2} = \sin(x) + C$

общее решение

$y(0) = 2$

$4 = \sin(0) + C \\ C= 4$

${y}^{2} = \sin(x) + 4$

частное решение

4.

$y' = \frac{1}{1 + {x}^{2} } \\ \int\limits \: dy = \int\limits \frac{dx}{1 + {x}^{2} } \\ y = arctgx + C$

общее решение

$y(1) = \pi$

$\pi = arctg1 + C \\ C = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$

$y = arctgx + \frac{3\pi}{4} \\$

частное решение