Question

Дана функция z=3y^2+2xy-5x, вектор i=3i+j и точка A(2:4). Найти: dz/zi, grad z (А). Задание в фото. ХЭЛП

Answer 1

Пошаговое объяснение:

z=3y²+2xy-5x   i= 3i +j   A(2;4)

$\displaystyle grad(z) = z'_xi+z'_yj$

$\displaystyle z'_x=2y-5 \qquad z'_x _{(A)}=2*4-5=3$

$\displaystyle \displaystyle z'_y=2x+6y \qquad z'_y \bigg |_A=2*2+6*4=28$

$\displaystyle grad(z)_A=\bigg ((2y-5)i+(2x+6y)\bigg ) _{(A)}=3i+28j$

$\displaystyle |grad(z)| _A=\sqrt{z'_x^2+z'_y^2} \bigg |_A=\sqrt{3^2+28^2} =\sqrt{793}$

и направляющие косинусы вектора-градиента

$\displaystyle cos\alpha =\frac{z'_x}{|grad(z)_A|} =\frac{3}{\sqrt{793} } \qquad cos\beta =\frac{z'_y}{|grad(z)_A|} =\frac{28}{\sqrt{793} }$

теперь будем разбираться с производной

$\displaystyle z'_i=z'_xcos \varphi+z'_ycos \theta$

$\displaystyle cos \phi =\frac{x}{|i|} \qquad cos \theta = \frac{y}{|i|}$

$\displaystyle |i|_A=\sqrt{x^2+y^2} _A=\sqrt{3^2+1^2} =\sqrt{10}$

$\displaystyle cos \varphi =\frac{3}{\sqrt{10} } \qquad cos \theta =\frac{1}{\sqrt{10} }$

и вот производная в точке А

$\displaystyle \frac{\delta z}{\delta i}\bigg |_A= z'_i_{(A)}=3*\frac{3}{\sqrt{10} } +28*\frac{1}{\sqrt{10} } = 37\frac{\sqrt{10} }{10} = 3.7\sqrt{10}$