Question

Найдите х и у из уравнения (1-i)x+(2+i)y=4-2i если а) х и у - действительные числа; б) х и у - мнимые числа.

Answer 1

А) Действуем как обычно с действительными числами:
(1-i)x+(2+i)y=4-2i
Раскроем скобки: x- x*i +2*y+i*y=4-2i
Сгруппируем отдельно с i и без: (x+2*y)-x*i+i*y=4-2i
Для равенства комплексных чисел должны быть соответственно равны их действительные и мнимые части:
(x+2*y)=4
i*y - i*x=-2i
Получилась система двух уравнений:
x+2*y=4
y - x=-2
Решаем её. Например выразим из второго уравнения у:
у = х - 2
И подставим в первое:
х + 2*(х-2) = 4
х + 2х - 4 = 4
3х = 8
х = 8/3 = 2 целых и 2/3
Подставляем полученное в выражение для у:
у = х - 2 = 8/3 - 2 = 8/3 - 6/3 = 2/3

б) Если это мнимые(именно мнимые, не комплексные!), то их можно представить в виде x=x*i, y=y*i. Подставим в исходное уравнение:
(1-i)x+(2+i)y=4-2i 
(1-i)x*i+(2+i)y*i=4-2i
Раскроем скобки: x*i-x*i^2+2*y*i+y*i^2=4-2i
Вспомним, что i^2 это -1: x*i+x+2*y*i-2y=4-2i
Далее группируем, как в первом варианте: (x-2y)+(2*y*i+x*i)=4-2i
x-2y=4
2y+x=-2
Решаем. Выразим например из первого уравнения х:
х = 4 + 2у
Подставим во второе:
2у + 4 + 2у = -2
4у = -6
у = -6/4 = -1,5
И подставим в выражение для х:
х = 4 + 2у = 4 + 2*(-1,5) = 4 - 3 = 1