Делим второе уравнение на 2:
x + y + z = -3
Возводим в квадрат:
x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx) = 9
Заменяем сумму квадратов на 3:
2(xy + yz + zx) + 3 = 9
xy + yz + zx = 3
Посмотрим на это с точки зрения геометрии. Пусть вектор a = {x, y, z}; вектор b = {y, z, x} - вектор, полученный из a поворотом вокруг оси, направленной вдоль {1, 1, 1} на -120°. Мы получили, что a b = a a = 3, значит, проекция b на a совпадает с проекцией a на a, то есть с a. Учитывая, что длины векторов a и b совпадают, так будет, только если a = b, значит, вектор a лежит на оси вращения, тогда x = y = z.
Подставляем x = y = z:
x + y + z = -3
3x = 3y = 3z = -3
x = y = z = -1
Решение. Область представляет собой часть параболы, лежащую ниже оси ОХ, точки пересечения с осью М1(-1,0) и М2(1,0). Найдём критические точки: ∂z/∂x=2x-y ; ∂z/∂y=x ; 2x-y=0 ; x=0 : y=0 ; М0(0,0)-критическая точка, лежащая внутри области. Найдём критические точки на границе области.
Если y=4x²-4 : z=x²+x(4x ²-4)-2=x²+4x³+4x-2 ; z ‘=2x+12x²-4 ; 2x+12x²-4=0 ; 6x²+x-2=0; x1=-2/3 ; x2=0,5, соответствующие точки М3(-2/3, 20/9) , М4(0,5 ,-3) , пусть теперь у=0 (ось ОХ) : z=-2, здесь критических точек нет. Теперь найдём значения z во всех указанных точках и выберем наибольшее и наименьшее : z(M0)=z(0,0)=-2 ;
z(M1)=z(-1,0)=-1 ; z(M2)=z(1,0)=-1 ;
z(M3)=z(-2/3, 20/9)=-82/27≈-3,037;
z(M4)=z(0,5 ; -3)=-13/4≈-3,25 ; ответ: zнаим. =z(0,5 ; -3)=-3,25 ;zнаиб. =z(-1,0)=z(1,0)=-1