Выдающийся математик, астроном и географ Мухаммад аль – Хорезми жил в конце VIII – первой половине IX веков. Мусо аль – Хорезми (полное имя Абу Абдулло Мухаммад ибн Мусо аль Хорезми) родился в 783 году в Хорезме (Узбекистан). Изначально свои знания он получил от учёных, живших в городаз Средней Азии.В источниках к имени аль – Хорезми также добавлялись аль – Мажуси и Кутруббули.
Им было создано более 20 научных трудов, но до нас дошли сведения лишь о десяти. Это "Aljabr va al muqobala hisobi haqida qisqacha kitob"(посвящена алгебре); "Hind hisobi haqida kitob" или "Qo‘shish va ayirish haqida kitob"(посвящена арифметике); "Kitob surat-ul-arz" (посвящена географии); "Zij ", "Asturlob bilan ishlash haqida kitob", "Asturlob yasash haqida kitob", "Asturlob yordamida azimutni aniqlash haqida", "Kitob ar-ruhoma", "Kitob at-tarix" (посвящены астрономии). Четыре из этих произведений сохранились на арабском языке, одно – в составе произведений Фергани, два – на латинском языке, а остальные три – ещё не найдены.
Время создания рукописи, посвящённой арифметике, неизвестно. Но аль – Хорезми делает ссылку на неё в рукописи, посвящённой алгебре. Значит, рукопись по арифметике была написана раньше, чем рукопись по алгебре. В XII веке в Испании эта рукопись была переведена на латинский язык. Переписанный в XIV веке вариант этой рукописи хранится в библиотеке Кембриджского университета. Рукопись начинается со слов "Diksit Algorizmi", или "аль – Хорезми сказал". После этих слов говорится об удобстве использования девяти индийских цифр при написании чисел и возможности короткого представления любого числа с их И особенно было дано разъяснение о применении нуля (0), что если его не писать, то в вычислениях появятся ошибки. После этого начали писать "1000".
В латинском варианте рукописи очень часто места индийских цифр оставались пустыми или же писались индийские цифры, соответствующие 1,2,3,4,5. Иногда индийские цифры заменялись римскими, которыми в те времена пользовались в Европе.
В рукописи аль – Хорезми говорится также: "... Я предложил "Aljabr va almuqobala hisobi haqida qisqacha kitob", включающую в себя простые и сложные задачи арифметики, потому что это нужно для людей при разделе имущества, при составлении завещаний, при разделе имущества, в юстиции, в торговле, составлении договоров а также при замере земель , проведении каналов, в геометрии и других похожих работах".
Размещения A(m,n)=n!/(n−m)!, где n=5 - общее количество чисел, m=4 - число чисел в выборке.
Находим:
d1=A(4,5)=5!/(5−4)!=2*3∗4∗5=120
Числа не могут начинаться с 0, т.е. это количество чисел (начинающихся с 0) нужно вычесть из полученного количества. Первая цифра этих четырехзначных чисел известна - 0, а остальное количество чисел находим по формуле Размещения, где n=4, m=3, т.к. одна цифра (0) уже использована
d2=4!/2!=3∗4=12
Получили, что количество четырехзначных чисел равно
D=d1−d2=120-12=108