Составить уравнение места точек, отношение расстояний которых до точки f(-2; 0) и до прямой x=-10 равно √5/5. сделать: а) схематический рисунок; б) построить линию по её уравнению.
Геометрического места точек, отношение расстояний которых до точки F(-2;0) и до прямой x=-10 равно √5/5
((х+2)²+y²)/(x+10)² = 1/5 5((х+2)²+y²)=(x+10)² 5х²+20x+20+5y²=x²+20x+100 4х²+5y²=80 х²/20+y²/13=1 (x/√20)² +(y/ √13)² = 1 - эллипс с полуосью √20 по оси х и полуосью √13 по оси y
Добрый день! Конечно, я помогу вам с этим вопросом.
Для составления уравнения места точек, нам нужно знать, что такое расстояния до точки и до прямой. Расстояние до точки - это расстояние между данной точкой и другой точкой на плоскости. Расстояние до прямой - это расстояние между данной точкой и самой ближайшей к ней точкой на прямой.
Сначала нарисуем схематический рисунок. Для этого нарисуем плоскость координат и отметим точку f(-2; 0) и прямую x = -10.
|
-10 ... -1 0 1 2 10 ...
|
|
|
|
|
Затем отметим место точек, расстояние от которых до точки f(-2; 0) и до прямой x = -10 равно √5/5. Обозначим эти точки как P и Q.
|
-10 ... -1 0 1 2 10 ...
|
|
Q |
|
|
P |
|
|
|
Теперь перейдем к составлению уравнения места точек. Обозначим координаты точки P как (x, y).
Сначала найдем расстояние от точки P до точки f(-2; 0):
d1 = √((x - (-2))^2 + (y - 0)^2) (формула расстояния между двумя точками на плоскости)
Далее найдем расстояние от точки P до прямой x = -10:
d2 = |x + 10| (формула расстояния от точки до прямой)
По условию задачи, отношение расстояний d1 и d2 равно √5/5:
d1 / d2 = √5/5
Подставим значения d1 и d2 в это уравнение:
√((x - (-2))^2 + (y - 0)^2) / |x + 10| = √5/5
Теперь нам нужно избавиться от корня в уравнении. Возводим обе части уравнения в квадрат:
Таким образом, уравнение места точек, отношение расстояний которых до точки f(-2; 0) и до прямой x = -10 равно √5/5, имеет вид:
4/5 * x^2 - 92/5 * x + y^2 - 84/5 = 0
Теперь перейдем к построению линии по этому уравнению. Для этого нужно найти несколько точек, удовлетворяющих этому уравнению, и провести прямую через них.
Заметим, что уравнение имеет вид уравнения окружности:
4/5 * x^2 - 92/5 * x + y^2 - 84/5 = 0
Уравнение окружности имеет общий вид:
(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2
Где (a, b) - координаты центра окружности, а r - радиус окружности.
Сравнивая коэффициенты при x и y в нашем уравнении и в общем уравнении окружности, можно сделать вывод, что центр окружности находится в точке (х, у). Чтобы найти эту точку, нужно решить систему уравнений:
4/5 * a = 92/5 (коэффициент при x)
4/5 * b = 0 (коэффициент при y)
Из первого уравнения получаем a = 92/4 = 23
Из второго уравнения получаем b = 0
Таким образом, центр окружности находится в точке (23, 0). Радиус окружности можно найти, подставив эти значения в уравнение окружности или в общий вид уравнения окружности:
(23 - a)^2 + (0 - b)^2 = r^2
(23 - 23)^2 + (0 - 0)^2 = r^2
0 + 0 = r^2
0 = r^2
r = 0
Значит, у нас получилась окружность радиусом 0, то есть просто точка (23, 0). Это означает, что место точек, определяемое нашим уравнением, является одной точкой - (23, 0).
Итак, ответ на вопрос а) - схематический рисунок:
|
-10 ... -1 0 1 2 10 ...
|
|
Q |
|
|
P |
|
|
|
|
-10 ... -1 0 1 2 10 ...
|
|
Q |
|
|
P o |
|
|
|
где точка (23, 0) обозначена как "o".
Ответ на вопрос б) - линия, соответствующая уравнению, является окружностью с центром в точке (23, 0) и радиусом 0.
Я надеюсь, что объяснение было понятным и полезным для вас!
((х+2)²+y²)/(x+10)² = 1/5
5((х+2)²+y²)=(x+10)²
5х²+20x+20+5y²=x²+20x+100
4х²+5y²=80
х²/20+y²/13=1
(x/√20)² +(y/ √13)² = 1 - эллипс с полуосью √20 по оси х и полуосью √13 по оси y