ответ:
алгоритм исследования функции двух переменных на экстремум
функция z = f(x,y) имеет максимум в точке m0(x0; y0), если f(x0; y0) > f(x; y) для всех точек (x; y), достаточно близких к точке (x0; y0) и отличных от неё. функция z = f(x,y) имеет минимум в точке m0(x0; y0), если f(x0; y0) < f(x; y) для всех точек (x; y), достаточно близких к точке (x0; y0) и отличных от неё. максимум и минимум функции называются экстремумами функции.
исследование функции двух переменных на экстремум проводят по следующей схеме.
1. находят частные производные dz/dx и dz/dy.
2. решают систему уравнений:
и таким образом находят критические точки функции.
3. находят частные производные второго порядка:
4. вычисляют значения этих частных производных второго порядка в каждой из найденных в п.2 критических точках m(x0; y0).
5. делаю вывод о наличии экстремумов:
а) если ac – b2 > 0 и a < 0 , то в точке m имеется максимум;
б) если ac – b2 > 0 и a > 0 , то в точке m имеется минимум;
в) если ac – b2 < 0, то экстремума нет;
г) если ac – b2 = 0, то вопрос о наличии экстремума остается открытым;
пример №1. найти экстремумы функции f(x,y)=x3+xy2+x2+y2 и определить по критерию сильвестра их тип.
решение.
1. найдем первые частные производные.
2. решим систему уравнений.
3x2+2x+y2=0
2xy+2y=0
получим:
а) из первого уравнения выражаем x и подставляем во второе уравнение:
x = -1
y2+1=0
данная система уравнений не имеет решения.
б) из первого уравнения выражаем y и подставляем во второе уравнение:
или
или
откуда x1 = -2/3; x2 = 0; x3 = -2/3; x4 = 0
данные значения x подставляем в выражение для y. получаем: y1 = 0; y2 = 0; y3 = 0; y4 = 0
количество критических точек равно 2: m1(-2/3; 0), m2(0; 0)
3. найдем частные производные второго порядка.
4. вычислим значение этих частных производных второго порядка в критических точках m(x0; y0).
вычисляем значения для точки m1(-2/3; 0)
ac - b2 = -4/3 < 0, то экстремума нет.
вычисляем значения для точки m2(0; 0)
ac - b2 = 4 > 0 и a > 0 , то в точке m2(0; 0) имеется минимум z(0; 0) = 0
вывод: в точке m2(0; 0) имеется минимум z(0; 0) = 0
пример №2. исследовать функцию на экстремум классическим методом: z=8x2+2xy-5x+6.
пошаговое объяснение:
s1(t=10 c) = 10^3 + 2*10^2 = 1200 м
s2(t=10 c) = 3*10^2 + 12*10 = 420 м
Расстояние между ними будет равно
s1 - s2 = 1200 - 420 = 780 м
2) v = 3t^2 - 2t - 3
Чтобы найти, какое расстояние тело пройдет за 2-ую секунду,
нужно найти, сколько оно пройдет через 1 сек и через 2 сек,
а потом из второго вычесть первое.
Через 1 сек тело пройдет
s(t=1 c) = 1 - 1 - 3 = -3 м (то есть 3 м в обратную сторону)
Через 2 сек тело пройдет
s(t=2 c) = 8 - 4 - 3*2 = -2 м (2 м в обратную сторону)
Значит, за 2-ую секунду оно пройдет -2 - (-3) = 1 м.
Что-то мне кажется, что это не совсем правильное решение.