1.Найдите производную функции: а) у = ex+x2,5 : б) у = ln(x2 + 1) – 4x; B) y = 2e + cos3x ; г) у =e2x-5. х3. д) у = 3-2x+ 2.Составьте уравнение касательной к графику функции y = 5x - 3 + ex-1 в точке с абсциссой, равной 1.
А) Чтобы найти производную функции y = ex+x2,5, мы будем использовать правило дифференцирования сложной функции.
Сначала возьмем производную от каждого слагаемого по отдельности.
Производная от ex равна ex.
Производная от x2,5 равна 2,5x1,5 (используем правило степенной функции, где производная от x^n равна nx^(n-1)).
Теперь сложим эти две производные, чтобы получить полную производную функции y = ex+x2,5:
y' = ex + 2,5x1,5.
Б) Чтобы найти производную функции y = ln(x2 + 1) – 4x, мы воспользуемся правилом дифференцирования логарифма и производной от суммы.
Производная от ln(x2 + 1) равна (1/(x2 + 1)) * (2x) (используем правило производной логарифма, где производная от ln(u(x)) равна (1/u(x)) * u'(x)).
Производная от -4x равна -4 (используем правило производной линейной функции, где производная от cx равна c, где c - константа).
Теперь вычитаем эти две производные, чтобы получить полную производную функции y = ln(x2 + 1) – 4x:
y' = (1/(x2 + 1)) * (2x) - 4.
B) Чтобы найти производную функции y = 2e + cos3x, мы воспользуемся правилом дифференцирования экспоненциальной функции и производной от косинуса.
Производная от 2e равна 2e (используем правило производной экспоненциальной функции, где производная от e^u равна u' * e^u, где u - функция, зависящая от x).
Производная от cos3x равна -3sin3x (используем правило производной косинуса, где производная от cos(u) равна -sin(u) * u', где u - функция, зависящая от x).
Теперь сложим эти две производные, чтобы получить полную производную функции y = 2e + cos3x:
y' = 2e - 3sin3x.
Г) Чтобы найти производную функции y = e2x-5 * x3, мы воспользуемся правилами дифференцирования степенной функции и производной произведения.
Производная от e2x-5 равна 2e2x-5 * (x3)' (используем правило производной степенной функции, где производная от a^u равна (ln(a) * a^u) * u', где a - положительная константа, а u - функция, зависящая от x).
Производная от x3 равна 3x2 (используем правило степенной функции, где производная от x^n равна nx^(n-1)).
Теперь перемножим эти две производные, чтобы получить полную производную функции y = e2x-5 * x3:
y' = 2e2x-5 * 3x2.
2. Чтобы составить уравнение касательной к графику функции y = 5x - 3 + ex-1 в точке с абсциссой, равной 1, нам понадобятся производные функции.
Сначала найдем производную функции y = 5x - 3 + ex-1:
y' = 5 + e^(x-1) (производная от 5x равна 5 и производная от ex-1 равна e^(x-1)).
Теперь, используя найденную производную, мы можем найти значение производной функции в точке x = 1:
y'(1) = 5 + e^(1-1) = 5 + e^0 = 5 + 1 = 6.
Так как производная функции в точке x = 1 равна 6, мы можем использовать эту информацию для составления уравнения касательной к графику.
Уравнение касательной имеет вид y - y1 = m(x - x1), где (x1, y1) - координаты точки на графике функции, а m - значение производной функции в этой точке.
Сначала возьмем производную от каждого слагаемого по отдельности.
Производная от ex равна ex.
Производная от x2,5 равна 2,5x1,5 (используем правило степенной функции, где производная от x^n равна nx^(n-1)).
Теперь сложим эти две производные, чтобы получить полную производную функции y = ex+x2,5:
y' = ex + 2,5x1,5.
Б) Чтобы найти производную функции y = ln(x2 + 1) – 4x, мы воспользуемся правилом дифференцирования логарифма и производной от суммы.
Производная от ln(x2 + 1) равна (1/(x2 + 1)) * (2x) (используем правило производной логарифма, где производная от ln(u(x)) равна (1/u(x)) * u'(x)).
Производная от -4x равна -4 (используем правило производной линейной функции, где производная от cx равна c, где c - константа).
Теперь вычитаем эти две производные, чтобы получить полную производную функции y = ln(x2 + 1) – 4x:
y' = (1/(x2 + 1)) * (2x) - 4.
B) Чтобы найти производную функции y = 2e + cos3x, мы воспользуемся правилом дифференцирования экспоненциальной функции и производной от косинуса.
Производная от 2e равна 2e (используем правило производной экспоненциальной функции, где производная от e^u равна u' * e^u, где u - функция, зависящая от x).
Производная от cos3x равна -3sin3x (используем правило производной косинуса, где производная от cos(u) равна -sin(u) * u', где u - функция, зависящая от x).
Теперь сложим эти две производные, чтобы получить полную производную функции y = 2e + cos3x:
y' = 2e - 3sin3x.
Г) Чтобы найти производную функции y = e2x-5 * x3, мы воспользуемся правилами дифференцирования степенной функции и производной произведения.
Производная от e2x-5 равна 2e2x-5 * (x3)' (используем правило производной степенной функции, где производная от a^u равна (ln(a) * a^u) * u', где a - положительная константа, а u - функция, зависящая от x).
Производная от x3 равна 3x2 (используем правило степенной функции, где производная от x^n равна nx^(n-1)).
Теперь перемножим эти две производные, чтобы получить полную производную функции y = e2x-5 * x3:
y' = 2e2x-5 * 3x2.
2. Чтобы составить уравнение касательной к графику функции y = 5x - 3 + ex-1 в точке с абсциссой, равной 1, нам понадобятся производные функции.
Сначала найдем производную функции y = 5x - 3 + ex-1:
y' = 5 + e^(x-1) (производная от 5x равна 5 и производная от ex-1 равна e^(x-1)).
Теперь, используя найденную производную, мы можем найти значение производной функции в точке x = 1:
y'(1) = 5 + e^(1-1) = 5 + e^0 = 5 + 1 = 6.
Так как производная функции в точке x = 1 равна 6, мы можем использовать эту информацию для составления уравнения касательной к графику.
Уравнение касательной имеет вид y - y1 = m(x - x1), где (x1, y1) - координаты точки на графике функции, а m - значение производной функции в этой точке.
В нашем случае (x1, y1) = (1, 5 - 3 + e1-1) = (1, 5 - 3 + e^0) = (1, 5 - 3 + 1) = (1, 3 + 1) = (1, 4).
Подставляем значения в уравнение касательной:
y - 4 = 6(x - 1).
Это и есть уравнение касательной к графику функции y = 5x - 3 + ex-1 в точке с абсциссой, равной 1.