S = (1/2)*2√2 = √2 ≈ 1,41421356. Площадь грани можно также найти по формуле: S = (1/2)|A1A2|*|A1A3|*sin α. Синус найдём через найденный косинус угла между векторами: sin α = √(1-cos²α) = √(1-(1/3)²) = √(8/9) = 2√2/3. Модули векторов уже найдены при определении косинуса угла:√3 и √3. Площадь грани A1A2A3 равна: S = (1/2)*√3*√3*2√2/3 = √2.
4) объем пирамиды А1А2А3A4 (с учётом, что A1A4 =(2;3;-4)). V = (1/6)*|1 -1 1| |1 1 1| |2 3 -4|. Так как определитель матрицы ∆ = 1*(1*(-4)-3*1)-1*((-1)*(-4)-3*1)+2*((-1)*1-1*1) = -12, то объём равен: V = (1/6)*12 = 2.
5) длину высоты пирамиды, проведенной из вершины A4. Длина высоты пирамиды H=3V/Sосн = 3*2/√2 = 3√2 ≈ 4,242641.
1. Взвешиваем 200 г крупы (на одной чашке весов - крупа, на другой - гиря) 2. Перекладываем гирю на ту чашку, где крупа. Получаем 400 г на левой чашке. Уравновешиваем весы, досыпая крупу на правую чашку. Получили: 200 г крупы + гиря 200 г - на левой чашке и 40 г крупы - на правой. 3. Снова переставляем гирю на правую чашку весов и досыпаем крупу на левую до равновесия. Получаем: на правой чашке весов: 400 г крупы + 200 г гиря на левой чашке весов - 600 г крупы. 4. Ссыпаем крупу с чашек в пакет - получаем 400 г + 600 г = 1 кг
Даны координаты вершин пирамиды:
А1 (1, 1, 1), А2 (2, 0, 2), А3(2, 2, 2), А4 (3, 4, -3).
Найти:
1) длину ребра А1А2.
|A1A2| = √((2-1)²+(0-1)²+(2-1)²) = √3 ≈ 1,73205.
2) угол α между ребрами А1А2 и А1А3.
Вектор А1А2: (2-1=1; 0-1=-1; 2-1=1) = (1; -1; 1).
Вектор А1А3: (2-1=1; 2-1=1; 2-1=1) = (1; 1; 1).
cos α = |1*1+(-1)*1+1*1|/(√(1²+(-1)²+1²)*√(1²+1²+1²) = 1/(√3*√3) = 1/3.
α = arc cos(1/3) = 1,2309594 радиан = 70,528779 градуса.
3) площадь грани А1А2А3.S = (1/2)*|a × b|.
Найдем векторное произведение векторов:
c = a × b.a × b = ijkaxayazbxbybz = ijk1-11111 = i ((-1)·1 - 1·1) - j (1·1 - 1·1) + k (1·1 - (-1)·1) =
= i (-1 - 1) - j (1 - 1) + k (1 + 1) = {-2; 0; 2}
Найдем модуль вектора:
|c| = √(cx² + cy² + cz²) = √((-2)² + 0² + 2²) = √(4 + 0 + 4) = √8 = 2√2.Найдем площадь треугольника:
S = (1/2)*2√2 = √2 ≈ 1,41421356.Площадь грани можно также найти по формуле:
S = (1/2)|A1A2|*|A1A3|*sin α.
Синус найдём через найденный косинус угла между векторами:
sin α = √(1-cos²α) = √(1-(1/3)²) = √(8/9) = 2√2/3.
Модули векторов уже найдены при определении косинуса угла:√3 и √3.
Площадь грани A1A2A3 равна:
S = (1/2)*√3*√3*2√2/3 = √2.
4) объем пирамиды А1А2А3A4 (с учётом, что A1A4 =(2;3;-4)).
V = (1/6)*|1 -1 1|
|1 1 1|
|2 3 -4|.
Так как определитель матрицы
∆ = 1*(1*(-4)-3*1)-1*((-1)*(-4)-3*1)+2*((-1)*1-1*1) = -12, то объём равен:
V = (1/6)*12 = 2.
5) длину высоты пирамиды, проведенной из вершины A4.
Длина высоты пирамиды H=3V/Sосн = 3*2/√2 = 3√2 ≈ 4,242641.