Question

Найти общее решение дифференциального уравнения:
y"=py'+qy=F(x)
y"-6y'+9y=X^2+3

Answer 1

1. Решаем ОЛДУ:

$y - 6y + 9y = 0 \\ \\ y = {e}^{kx} \\ \\ {e}^{kx} ( {k}^{2} - 6 k + 9) = 0\\ (k - 3) { }^{2} = 0\\ k1 = k2 = 3 \\ y = c1 {e}^{3x} + c2 {e}^{3x} x$

2. Подбираем у с неопределенными коэффициентми:

$y = a {x}^{2} + bx + c \\ y = 2ax + b \\ y = 2a$

$2a - 12ax - 12b + 9a {x}^{2} + 9bx + 9c = {x}^{2} + 3 \\ \\ 9a = 1 \\ - 12a + 9b = 0 \\ 2a - 12b + 9c = 3 \\ \\ a = \frac{1}{9} \\ b = \frac{12}{9} \times \frac{1}{9} = \frac{4}{27} \\ c = 3 - \frac{2}{9} + \frac{48}{27} = \frac{11}{27}$

$y = \frac{ {x}^{2} }{9} + \frac{4x}{27} + \frac{11}{27} \\$

Общее решение:

$y = c1 {e}^{3x} + c2 {e}^{3x} x + \frac{ {x}^{2} }{9} + \frac{4x}{27} + \frac{11}{27} \\$