Question

Из точки А к окружности с центром в точке О проведены касательная и секущая, которая пересекает окружность в точках B и С. Найдите длину отрезка касательной от точки A до точки касания, если AB = 4, AC = 25.

Answer 1

Для того чтобы найти длину отрезка касательной от точки A до точки касания, нужно использовать свойство касательных и секущих окружностей.

Свойство касательных: касательная, проведенная к окружности, перпендикулярна радиусу, проведенному в точке касания.

Свойство секущих: произведение отрезков, образованных секущей и окружностью, равно произведению отрезков, образованных другой секущей и окружностью.

Давайте применим эти свойства для нашей задачи.

У нас дано AB = 4 и AC = 25, и нам нужно найти длину отрезка касательной от точки A до точки касания.

Для начала, давайте нарисуем схему с указанными точками и отрезками:

C
/
/
A ----------- O
\
\
B

Мы знаем, что AB = 4 и AC = 25.

Так как AB - касательная, она перпендикулярна радиусу OA. Поэтому, для начала, давайте найдем радиус OA, используя теорему Пифагора.

OB^2 = OA^2 + AB^2 (1)

Для этого нам нужно найти длину отрезка OB. Мы знаем, что AC - секущая, поэтому мы можем использовать свойство секущих:

OB * OC = OA^2 (2)

Мы знаем, что AC = 25 и OB равно радиусу, который нам нужно найти. Подставим эти известные значения в уравнение (2):

OB * 25 = OA^2

Теперь нам нужно найти отрезок OB. Мы знаем, что AC = 25, поэтому мы можем использовать свойство секущих:

AB * AC = OB * OC (3)

Подставим AB = 4 и AC = 25 в уравнение (3):

4 * 25 = OB * OC

100 = OB * OC

OC = 100 / OB

Теперь мы можем подставить это значение OC в уравнение (2):

OB * (100 / OB) = OA^2

100 = OA^2

ОA = √100 = 10

Теперь мы знаем, что OA = 10. Подставим это значение в уравнение (1):

OB^2 = 10^2 - 4^2

OB^2 = 100 - 16

OB^2 = 84

OB = √84 = 2√21

Итак, мы найдем длину отрезка касательной от точки A до точки касания, используя расстояние между точками A и B:

AB = 4

Таким образом, длина отрезка касательной от точки A до точки касания равна 4.